潰れた大学の事務の引継ぎってどうなるんですか？

どこかしらの組織・機関が発行をしてくれるのではないかと思います。

閉校に至る過程にもよるのですが、経営難・不祥事で解散した場合を除けば、統合や改組など、看板を架け替えたり新たな大学への母体となったり別の大学に吸収されたりという形が多いのではないかと思います。そういう場合は引き継いだ大学が、かつて存在した大学についての証明書を発行してくれます。

例
東京教育大学→筑波大学
http://www.tsukuba.ac.jp/inquiry/u-shinsei.html
長崎県立女子短期大学→長崎県立シーボルト大学
http://www.sun.ac.jp/life/classwork/certificate/


広島の立志舘大学の場合だと、運営母体の学校法人は存続していますからそちらが発行をしてくれるのかもしれませんし、学生を受け入れた呉大学が発行をしてくれるのかもしれません。どちらかが発行してくれるでしょう。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AB%8B%E5%BF%97% …
http://www.kure-u.ac.jp/shakaijouhou/kali.html

酒田短期大学の場合は、引き受けてくれる大学がなくて文部科学省が直接行うみたいですね。
http://allabout.co.jp/study/adultedu/closeup/CU2 …