もしも、衆議院解散中に有事が発生したら？

表題のご質問については、他の方も書かれているとおり、憲法７１条により、衆院解散中も内閣は存続しています。

あと、蛇足ですが、、、、
「解散総選挙→新総理大臣指名→新総理大臣任命（この時点で旧内閣総辞職・総理交代）→新国務大臣任命→新内閣認証」という流れの中で、新総理任命とともに内閣は総辞職するので、新総理任命から新国務大臣任命までの間は、内閣を組織しているのは新総理一人という事態になっています。
この時点が一番内閣的には手薄になっている時点ですね。（普通は総理任命の時点で各国務大臣も決まっているので問題ないでしょうが。。。。）

追加のご質問については、
ケース１のように、一部地域で有事が起こった場合については、
そのまま投票を行なったとすると、
選挙の無効等確認の訴えが出ると思います。
そこで、判決が出てみないことにはどうとも言えないですが、多分憲法１４条・１５条違反で違憲って出ると思います。（選挙の機会の平等、一票の価値の平等に反しそう）
ただ、違憲となった後にその選挙を無効としてやりなおすかについては、微妙です。
（過去にも選挙が違憲となった例はあるんですが、大体が行政事件訴訟法３１条（事情判決）に基いて、違憲だが、無効として選挙をやり直す必要はないという判決になっています）

ケース２のように、日本全体が有事の場合については、
多分憲法５４条２項・３項の「参議院の緊急集会」を使うのではないかと思います。
通常、両院はともに開会し、活動するという原則があり、衆院解散中は参院も閉会しているのですが、
衆議院解散後、「国に緊急の必要のある場合」には、参議院が召集され、参院のみで国会の代行機能を果たせます。
まさにご質問のような有事のための条文です。
（ただし、本当に一時的な措置なので、次に衆議院が選ばれた後に衆院の同意を得られなければ緊急集会の議決は効力を失いますし、憲法改正などはできません。）
ここで、選挙を続行するかどうかを含め、話し合われることになるんじゃないかと思います。
（憲法を改正できないとすると、選挙の日を延ばすといってもそんなには延ばせませんが。。。。←解散から４０日以内に選挙をしなくてはいけないと憲法で決まっている）

問題の本質は、法的上では責任者がいない（決められていないときに）緊急事態が起きたらどうなるということにつきると思います。

麻生幾さんの小説を私も読んだことがありますが、現状の制度・法律がこうだから、こういう矛盾した状況になるというあらすじです。
政治は、突き詰めていえば、法律が動かしているものではなくて人間が動かしているものだから、緊急事態においては、法律を越えた行為をすることになるはずです。
No.3の回答の疑問の場合、選挙中止になる可能性もあると思います。刺激的な言葉を使うなら、有事というよりは戦時内閣とか戒厳令というのが適当でしょう。

確か、総理大臣（小泉首相）が次の総理大臣が決まるまで、その職務を行ないます。

（憲法71条）

今回は、首相自体が変わりませんでしたので、施政方針が変わらないため問題の生じる余地はありませんが、政権交代が起こった時、それまで行なった職務の有効性や、継続性に問題が生じる可能性があります。

他の方が答えている通り、選挙期間中でも行政機関は動いています。

衆議院と参議院の選挙が重ならないように、任期が４年と６年にずれ、参議院は３年ごとに半数改選としているのは、衆参同日選挙となっても、参議院の半数が国会に残るようにするためです。

基本的な勘違いをされていますけど、衆議院解散中も内閣総理大臣および内閣は何らかの理由で欠けたり(死亡もしくは辞任)しない限りそのまま在任しています。

衆議院総選挙後に召集される特別国会において、新たな内閣総理大臣が指名されて新しい内閣が作られる訳です。

なお、衆議院解散中に立法措置が必要な場合は、参議院の緊急集会が開かれ議決が行われます。この議決内容は特別国会で衆議院が議決するまで有効です。

これらはいずれも憲法に規定されている内容です。

内閣総理大臣は、衆議院の解散や衆議院議員の任期満了により国会議員の地位を失っても、次の内閣総理大臣が任命されるまでの間は、その地位を失うことはない(憲法第71条)。

http://www.kantei.go.jp/jp/rekidai/1-2-2.html

解散したのは、議会であって内閣は存続しているのだと思います。

島村さんは罷免されて小泉さんが兼務してたでしょ。