懲役又は罰金の罪はは罰金払えば懲役にはならない？

　刑罰を決めることができるのは裁判官しかいません。

刑罰には死刑、懲役、禁固、拘留、罰金、そして付加刑として、没収があります。
　刑罰が「懲役又は罰金」と定められている犯罪については、裁判官がどちらを選ぶか決めるのですが、初犯であったり、裁判官が「あまり厳しく罰する必要はない」と判断すれば、罰金を選ぶケースが多いでしょう。（スピード違反や信号無視でも懲役刑が定められています）
　なお、罰金刑を受けて、その罰金を完納したとしても、前科になります。
　罰金刑を受けて、お金が払えない場合は労役場に留置して、中で働くのですが、その場合、１日５０００円と換算されます。

罰金刑が決定すれば、罰金を払うだけです。

懲役刑の人は、懲役だけです。罰金の必要はありません。
また、懲役の代わりに罰金を選択することはできません。

ただし執行猶予つきの懲役刑の場合、執行猶予期間中は他に罪を犯さなければ懲役にはならず、執行猶予期間が終了すればその懲役刑は消滅します。

どの刑罰になるかは、裁判できまります。
刑法の規定で懲役以外の刑罰は無い犯罪ものもあります。
逆に、どんなに悪質でも懲役にはできない犯罪もありますが。

たとえば、窃盗罪はたとえ被害が千円程度でも、刑罰は懲役だけと決められています。
したがって他の「軽い刑罰」は課すことができません。
有罪判決である限りは懲役の実刑か、執行猶予付きの懲役だけです。

罰金刑と懲役刑は違うはずですけど？

少なくても犯人側がどうこうできるモノではありません。
裁判所が決める事です。
懲役刑なら執行猶予はあり得ますが、罰金払ってチャラって事は無いはずです。
罰金を払えなくて(払いたくなくて)刑務所に行く事はあります。

労働法に限らず懲役か罰金かなどは裁判所が決めることです。

自分で選択して罪を決められるとすれば、お金を持っている人はお金さえ払えばいいということになってしまいますからね。これでは罪を償うということにならないですよね。

もちろん、裁判所が罰金を支払えと命じた場合には罪がなんであろうと罰金を払えばそれ以上の罰はありません。罰金が罰ですからね。
まぁ、罰金以上の刑が確定した場合は一定の期間、会社員の場合懲戒になったり、ある地位の役職になれなかったり、希望の職業に就けなかったりと制限されることはありますけどね。

「又は」とありますが、これは犯罪者がどちらか選択できるということではありません。

裁判官が選択するのです。

従って、質問者さんの考えているような、罰金で懲役逃れはできません。

罪に対する罰は裁判で決定されます。

罪を犯した側が、決めるものではありません。
なので、罰金を払えば懲役にならないと言う事ではありません。