帽子をかぶっているのはマナー違反？

　帽子は元来外出するときに日よけや埃よけにするものですから、用途の面から、屋内に入ったときは脱帽するのが自然だとされていました。

そこから、「屋内では脱帽」がまずマナーになったようです（正式の夜会や演奏会などで、コートと帽子をあずかるのはこのため）。
　これがやがて意味を変えて「帽子をかぶっているのは略礼（道中かぶっていて夜会では脱ぐから）、脱いだ状態が最礼式」という発想が生まれたらしく、挨拶のとき、屋外でも軽く帽子を脱ぐ（脱ぐまねをする）という風俗が19世紀末ごろから確立して現在に至っているようです。この慣習が成立するにあたっては、軍隊のちからがあずかって大きかったらしく、帽子を大切にした軍人たちのあいだでまず確立したものが一般社会にひろまったようです。これがさらに変化して、人との挨拶以外にも、ごく正式の儀式の際には、屋外でも脱帽するのがマナーであるとされるようになったのでしょう。
　ちなみに正式の場では、屋内においてはたとえシルクハットでも着用しているのは非礼になります。

女性のドレスと共布で作ったような、つばのない帽子はドレスの一部とみなされます。

よく皇族の女性がかぶっているようなものですね。
ですから室内でも脱ぎません。

男性でかぶったままでいい帽子は、ないようですね。

＞よく、帽子をかぶったまま挨拶をするのはマナー違反って言いますよね？

たしか、正装の帽子着用の際は室内でも（たとえばレストランとか）でもかぶったままでいいとされていると思いました。
ですので、かぶったまま挨拶もあり、なのではないでしょうか？

こんにちは。

これはあくまで私見ですが、帽子をかぶったままだと、顔の表情、特に目の表情が帽子のつばに隠れて相手に見えず、気持ちが伝わらないと考えられるからではないでしょうか。