縦弾性率からせん断弾性率及び体積弾性率の導出方法

剪断弾性係数(G)は，正方形の剪断変形の幾何学形状によって導きます。

単位長さの辺（辺長=１，対角線長=√(2)）を持ち，辺ABを底辺とする正方形（左回りに）ABCDに左から頂点Dに力を加えたら，平行四辺形ABC'D'に変形します。この時，辺ABと辺C'D'は平行のままです。また，この時，角DAD'を（γ）とします。とすれば，頂点Dの移動距離は，δ=tan（DD'/辺長）ですが，辺長は単位長さ，変形角度が十分小さいとすれば，δ=γとなり，δ=DD'=CC'=γです。

ここで，四角形の対角線長は，AC=BDですが，変形後はAC+Δ，BD-Δとなります。また，対角線AC'のひずみ度は，ε=1/E・（σ＋νσ）ですので，対角線の伸びは，ひずみ度と対角線長を乗じたものになります。即ち，ΔL=ε・√(2)です。

ここで，対角線ACからAC'に垂線を引き交点をEとすると，AC'=AC+ΔLとなりますが，三角形CEC'は，頂点Eを90度とする２等辺三角形になっていますので，CC'は，CC'=ΔL・√(2)となります。

ここまでを整理しますと，
γ=CC'=ΔL・√(2)=ε・√(2)・√(2)=1/E・（σ＋νσ）・√(2)・√(2)
γ=2/E・(1+ν）σ
σ=2(1+ν）/E・γ=γ/G　つまり　G=E/2(1+ν）となります。

体積弾性率（ｋ）は，１辺を単位長さとする直方体の６面全てに圧力（P)が作用したときの体積ひずみを（εv）としたときの変形後の各辺の長さを（１+εi），i=x,y,zとすれば，体積ひずみは，-（変形後の体積）＋（変形前の体積）ですから，
εv=-(1+εx)(1+εy)(1+εz)＋１
となります。ここで，この式を解いて，この変形が微小変形であると仮定し２次以上の項を省略すれば，εv=-(εx+εy+εz)となります。
各方向のひずみが等しい（εx=εy=εz）とすれば，
e=-1/E・（-p+ν(p+p）)ですから，
ev=-３・1/E・（-p+ν(p+p）)
ev=p・3(1-2ν)/E=p/K　つまり　K=E/3(1-2ν）
となります。

せん断ひずみエネルギー説という考え方に基づいています．

立方体を考え，x,y,z軸方向にそれぞれ垂直な面を持っているものとし,それぞれの軸方向にσ1，σ2，σ3という応力がかかっている状態を考えます．
このときのひずみエネルギは
U=1/2(σ1ε1+σ2ε2+σ3ε3)とかけます．
また，ひずみε1,ε2,ε3はそれぞれ
ε1=1/E( σ1-νσ2-νσ3）
ε2=1/E(-νσ1+ σ2-νσ3）
ε2=1/E(-νσ1-νσ2+ σ3）
となりますので
U=1/2E(σ1^2+σ2^2+σ3^2-2ν（σ1σ2+σ2σ3+σ3σ1)となります．
これをまとめると
U=(σ1+σ2+σ3)^2/18K＋((σ1-σ2)^2+(σ2-σ3)^2＋(σ3-σ2)^2)/12G
とまとめることができ，この時のK,Gが体積弾性率,せん断弾性率になります．