多項間漸化式

いえいえ、言葉足らずはこちらの方です。
それにしても、やはり一般項からの証明は無理ですかねぇ。
証明できそうな勢いでしたが、結局三日間考えても分かりませんでした。
まあ、帰納法はたしかにすっきりしていますよね。
けれど実際のところ、あれは整数が和・差・積について閉じていることを示しているだけなんですよね。
ある意味当然のことなんですよ。（masuo_kunさんすみません。）
僕としてはやっぱりあの複雑な一般項から整数が出てくる「脅威」を味わいたかったですね（笑）

お礼が遅れて申し訳ありません。
なにぶん今週（6/25～28）は中間テストなので、パソコン自体に手を触れておりませんでした。
締め切ってからまでも回答くださって本当にありがとうございます。
またまた、ずいぶん、すっきりとした式になりましたね。
しかし、Q[r]の定義など、どうしたら、こんなことを思いつかれるのかと驚いてしまいました。
じっくり読ませていただきます。
本当にありがとうございました。

結局、高次数の方程式の解の公式の有無にかかわらずできるのですか。
実は未だに対称の意味(?)がよく分かってはいないのですが、
自力で頑張ってみます。
虚数を含む一般項式についてはmasuo_kunさんに対するお礼にも書いたとおり、僕の単なる趣味(?)の範囲ですので、数学的には意味がありませんね。

さて、5日間ほどにわたって僕のつたない質問に答えていただきましたが、6月19日19:20をもって締め切らせていただきたいと思います。皆さんのおかげで漸化式のみならずさまざまな勉強をさせていただきました。本当にありがとうございました。また、皆さんの回答の内容などのことで分からないことがあったら質問させていただきたいと思いますので、ぜひお力添えください。お願いいたします。

なんかものすごいことやってくれましたね。
「漸化式の項の数を気にしないで扱ってみる」んですか。
ものすごく数学らしい証明ですね。（と言いつつも実は全く理解できていませんが）
結局「一般」を追求するとこういう結果になるのでしょうか。
とりあえず、じっくり読ませていただきます。
ありがとうございました。

数学的帰納法ですか。それはすっかり忘れていました。
整数問題で、しかも漸化式とあっては真っ先に思いつかなければならないですね。
（もうすぐテストだというのに…。）
試しに僕もやってみます。
ありがとうございます。
下の方で、ぐじゃぐじゃやっていますが、帰納法でできるなら簡潔ですね。

あ、隣接3項間で重解のときについては学校でも習いましたので、さらに自分で勝手に一般項式も求めていたので知っていました。
お忙しいときにどうもすみませんでした。

ありがとうございました。
いきなり式が単純化してしまって逆に僕が混乱してしまった次第です。
せっかく式を単純化していただいたのにすみません。お手数かけました。
改めてstomachmanさんの回答を読ませていただきます。

オイラーの公式ですか。
たしかにまだ習っていません。
数学の授業中、ド・モアブルの定理でひたすら分解してたらこんな式に…。
a(n)=2i[cos(nθ)*{2x・y・a(1)-y・a(1)}+sin(nθ)*(x・a(2)-x^2・a(1)+y^2・a(1)]/2yi
あ、似てませんね。僕としては分子の2iから後の部分から因数としてyを導き出せれば終わりだぁと思いながらも、出せないでいる現在です。
どこかで何か間違えたのでしょうか。
途中で(n-1)θを(nθ-θ)として三角関数の加法定理で分解したりしてたら、rが消えました。(cosθ=x/r,sinθ=y/r,r=√(x^2+y^2)としました。)
このやり方には無理があるのでしょうか。

ところで、guiterさんの出してくださった
a(n) = [a(2)sin{(n-1)θ} - r*a(1)sin{(n-2)θ}] * r^(n-2) / sinθ は
a(n)が整数であることの証明になるのでしょうか。
見るからに明らかならすみません。無学な僕にお教えください。

>いじくってみたけど、めんどくさくなって…
どうしましょう。一応僕もやってみますが、深入りはしないことにします。
なにぶん、本来は机でテスト勉強をしてなければならない状況ですので。
すみません、中途半端で…。

ありがとうございます。
この質問とは全く関係なく前から3次方程式の解法知りたかったんですよ。
参考URL見させていただきました。
まだしっかり理解していませんが、おかげでstomachmanさんのせっかくの回答を無駄にしないですみそうです。
ご配慮ありがとうございました。