ガウス積分を含む関数の微分について

解決済

質問者：goanexy123
質問日時：2007/05/01 14:56
回答数：3件

f(u)=∫exp(-ax^2＋iux)dx
のuに関する微分df(u)/duを求めるという問題です。iは虚数単位で、a>0です。積分範囲は-∞～∞です。

ガウス積分の公式からexpの最初の項が√π/aになると思ったのですが、オイラーの公式のような∫exp(iux)dxの部分が微分や積分ができません。どうやら答えはf(u)*(-u/2a)になるようなのですが。。

答えがf(u)*(-u/2a)となることを示せれば、１階の微分方程式が成り立ち、解析的にf(u)が決定できそうなんです。すみませんが回答の程よろしくお願いします。

通報する

この質問への回答は締め切られました。

質問の本文を隠す

回答 (3件)

ベストアンサー優先
最新から表示
回答順に表示

No.3ベストアンサー

回答者： guuman
回答日時：2007/05/01 23:16

0=∫dx・exp(-a・x^2+i・u・x)・(-a・x^2+i・u・x)'

より
∫dx・x・exp(-a・x^2+i・u・x)
=(i・u/2/a)∫dx・exp(-a・x^2+i・u・x)
=i・u・f(u)/2/a

一方
f'(u)=i・∫dx・x・exp(-a・x^2+i・u・x)

よって
f'(u)=-u・f(u)/2/a

この微分方程式を解けば
f(u)すなわちガウシアンのフーリエ変換が求まる

この微分方程式を解いて補足に書け

この回答への補足

みなさんありがとうございます。おかげで微分方程式が解けました。解は境界条件をガウス積分の公式を用いることで√π/a*exp(-u^2/4a)と求まりました。ガウス関数のフーリエ変換系を成していることに気がつかなかったことはお恥ずかしい限りです。微分演算をフーリエ変換を用いることで代数的に解けるといった趣旨の問題だったようです。

補足日時：2007/05/16 04:14

通報する

- 0
- 件

通報する

No.2

回答者： zk43
回答日時：2007/05/01 20:53

指数の中身の-ax^2＋iuxを平方完成して、xに関係ない部分を積分の

外に出すと、積分の部分が虚数を含みますがガウス積分の形になって、
変数を置換すればuに関係ない値になると思います。
積分の範囲が実軸に平行な直線上になりますが、実変数xの関数の積分
なので、実軸上で積分した値と同じになると思うので、積分の値は
√(π/a)になるかと思います。（uに関係ない定数）
積分の外に出したのはexp(-u^2/4a)かと思うので、これをuで微分する
と(-u/2a)exp(-u^2/4a)になり、f’(u)=(-u/2a)f(u)が成り立つ。
となったのですが、先にf(u)が求められたので、題意とは違うのかな？