微分可能なのに導関数が不連続？

oodaiko先生とだぶってしまったので補足します。

(私が書き始めたときは回答者数0だったもので・・・)

f '(x)=2x sin(1/x)-cos(1/x) がx=0で連続でないことを示します。
すなわち、
lim(x→0) f '(x)　が存在しないことを示します。
「lim(x→0) f '(x)　が存在するならば
0に収束する任意の数列An,Bnについて
lim(n→∞) f '(An)=lim(n→∞) f '(Bn)
が成り立つ。」
という定理があったことを思い出してください。
An=1/(2nπ）、Bn=1/(2nπ+π/2)　としますと
lim(n→∞) f '(An)=lim(n→∞) {1/(ｎπ) sin(2nπ)-cos(2nπ)}
　=lim(n→∞) (-1)=-1
lim(n→∞) f '(Bn)
　=lim(n→∞) {2/(2ｎπ+π/2) sin(2nπ+π/2)-cos(2nπ+π/2)}
　=lim(n→∞) (2/(2ｎπ+π/2))=0
よって、lim(n→∞) f '(An)≠lim(n→∞) f '(Bn)
「　」の定理の対偶を考えると、
lim(x→0) f '(x)　が存在しない
ことが分かりますね。

ところでoodaiko先生に質問したいのですが。

＞lim_{x→0} ( 2x sin (1/x) - cos (1/x))
＞= lim_{x→0} 2x sin (1/x) - lim_{x→0} cos (1/x)

の部分です。
lim(f(x)+g(x))=lim f(x)+lim g(x)
が成り立つのは
lim f(x)、lim g(x)がそれぞれ存在するとき
ですよね。でもlim_{x→0} cos (1/x) は存在しない・・・
実は私が読んでいた本でもoodaiko先生のように証明しているんです。
何か特殊な事情でもあって、この場合は例外的に
lim(f(x)+g(x))=lim f(x)+lim g(x)
が成り立っているのでしょうか。

あちゃー。

又やっちゃいました。どうも急いで書くとろくなことがない。

shushouさん＜
＞im(f(x)+g(x))=lim f(x)+lim g(x)
＞が成り立つのは lim f(x)、lim g(x)
＞がそれぞれ存在するときですよね。
おっしゃる通りです。

今の場合fに関してはlimが存在するが、gに関してはlimが存在しないのでしたから
lim (f(x)+g(x)) = lim f(x) + lim g(x)
などどは言えませんね。
そもそも極限が存在しないのならこの式は意味がない。
そこで極限が存在しないことを言うには
shushouさんのような方法で示すしかない。

shushouさんの読まれた本の筆者も私と同様の慌て者だと思います。
どうも失礼しました。m(_ _)m

代表的で(数学科の人には)有名な例を。

f(x)=x^2 sin(1/x)　　(xが0以外)
f(0)=0
とします。
するとf(x)は微分可能ですが、
f '(x)=2x sin(1/x)-cos(1/x)
は、x=0で連続ではなくなります。

それじゃ

f(x)＝x^2 sin (1/x)
などいかがでしょうか。
|sin (1/x)|＜1ですから
f(0)＝0となることはよろしいですね。
またx≠0なら通常の方法で微分可能ですね。すなわち
f'(x)＝2x sin (1/x) - cos (1/x)
となります。
x＝0の時は微分の定義に戻って
f'(0) = lim_{x→0} ( f(x) - f(0))/ x = lim_{x→0} ( x^2 sin (1/x) )/ x
= lim_{x→0} x sin (1/x)＝0
となります。すなわちfはすべての点で微分可能です。
しかし
lim_{x→0} f'(x)＝lim_{x→0} ( 2x sin (1/x) - cos (1/x))
= lim_{x→0} 2x sin (1/x) - lim_{x→0} cos (1/x)
で、最後の式の第1項は0ですが第２項は不確定なのでf'(x)は0で不連続です。
（f'(x)が0で連続であると言うのはlim_{x→0} f'(x)＝f'(0)となるということでしたね。）