２変数関数の極限

siegmund です．

(1)の方，数字を見間違えていて，ちょっと間違えました．
問題の因子の分子は x^5 + y^6 でしたね．
なんとなくべきが同じような気がしていました．
copy & paste やったので，回答のべきはちゃんとなっていますが．

ついでに
(c)　　|y/x| → a (ゼロでない正定数) としながら x,y → 0
と訂正してください(後述)

(a)の場合
分母分子を x^4 で割って
分子 = x + (y/x)^6 x^2 → 0
分母 = 1 + (y/x)^4 → 1
結局 → 0

(b)の場合
分母分子を y^4 で割って
分子 = (x/y)^4 x + y^2 → 0
分母 = 1 + (x/y)^4 → 1
結局 → 0

(c)の場合
分子 ～ x^5
分母 = (1+a^4)x^4
で，結局 → 0

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> x = t(t+1)、y = t， t→0

これは，x と y が同じ速さでゼロに近づくから問題はありません．
t→0 のとき x～t とみてよいわけです．

> x = 1/θ cosθ, y = 1/θ sinθ, θ→∞

これは，同じ速さでゼロに近づくけれど，y の方は振動しながらゼロに近づくところが
ポイントですね．
私の(a)(b)(c)の分類は絶対値をつけてやるべきでしたかね．
絶対値をつけておけば，x,y のゼロへの近づき方は明らかにこの３パターンで
全部尽くされます．
問題の式の形によっては，分類の仕方が異なることは当然あります．
そういうときも，全部尽くすような分類にすればＯＫですね．

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rabbie さんのように
x=r cosθ, y=r sinθ,
としてしまうと，y/x = tanθ ですから，
x と y を同じ速さでゼロに近づける場合に話が限られてしまいます．
例えば，x と y^2 を同じ速さでゼロに近づけるような場合は含まれないことに
なります．

siegmund です．

rabbie さん：
> x=r cosθ, y=r sinθ, として、 θ は任意、r -> +0 とすると...

は，θも r -> +0 と同時に変化させるという意味ですか．
それなら了解しました．
私が文意を誤解したようです．失礼しました．

rabbie です。

一応自分でやってみました。

途中 sin^5θ 等は (sinθ)^5 のことです。
(1)
x=r cosθ, y=r sinθ, r>0, 0<=θ<2πとすると x, y -> 0 のとき r -> 0 で、
|(x^5+y^6)/(x^4 + y^4)|
= r^5|cos^5θ + r sin^6θ|/r^4(cos^4θ+sin^4θ)
<= r(|cosθ|^5+r|sinθ|^6)/(cos^4θ+sin^4θ)
<= r(cos^4θ+sin^4θ)/(cos^4θ+sin^4θ)
= r -> 0
途中 r, |sinθ|, |cosθ| <= 1, |a+b| <= |a| + |b| を利用。

(2)
まず、
(1+x^2y^2)^(1/x^2+y^2) >= 1 は自明。
上と同様に x=r cosθ, y=r sinθ,とすると、
(1+x^2y^2)^(1/(x^2+y^2))
= (1+r^4 cos^2θ sin^2θ)^(1/r^2)
<= (1+r^4)^(1/r^2)
= {(1+r^4)^(1/r^4)}^(r^2)
最後の式で、{} 内 -> e, r^2 -> 0 なので 全体 -> 1. （必要なら対数をとれば示せます。）

rabbie です。

＞rabbie さんのように
＞x=r cosθ, y=r sinθ,
＞としてしまうと，y/x = tanθ ですから，
＞x と y を同じ速さでゼロに近づける場合に話が限られてしまいます．
＞例えば，x と y^2 を同じ速さでゼロに近づけるような場合は含まれないことに
＞なります．

そうではありません。θは定数ではなくて、変数なので、どんな動きかたをすることも出来ます。
x と y^2 を同じ速さでゼロに近づけるような場合はそのようにrとθを変化させればいいまでです。

(1)の３つ目の部分

x=r cosθ, y=r sinθ, として、 θ は任意、r -> +0 とすると、割と簡単に解けると思いますよ。ヒントは、絶対値->0 を示すのと、r, |cosθ|, |sinθ| <= 1 を利用する事です。

自分では実際に解いてないので間違っていたらすいません。

x,y → 0 のときの，x,y の関係が指定されていませんので，

それに関係なく共通の極限値を持つときにのみ極限値が存在します．

つまり，
(a)　　y/x → 0 としながら，x,y → 0
(b)　　x/y → 0 としながら，x,y → 0
(c)　　y/x → a (ゼロでない定数) としながら x,y → 0
の３つの場合があります．

(1)の３番目の因子は，
(a)なら (x^5)/(x^4) とみなせて → 0
(b)なら (y^6)/(y^4) とみなせて → 0
(c)なら (ax^)6/{(1+a^4)x^4} とみなせて → 0
結局，極限値は存在して，予想どおりゼロです．

(2)は対数をとれば，
{1/(x^2 + y^2)} log(1 + x^2 y^2)
= {1/(x^2 + y^2)} {x^2 y^2 + (x^2 y^2 の高次項)}
です．
(a)なら最初の{}は 1/x^2 と同じことですから，→ 0
(b)は(a)と x,y を入れ換えただけで，→ 0
(c)なら，{1/(1 + a^2) x^2} a^2 x^4 と同じことで，→ 0
になります．
対数がゼロになるから，もとは → 1 ですね．

本当はもっときちんとやらないといけないのかも知れませんが...

なお，
x^2 / (x^2 + y^2)
などですと，(a)(b)(c)によって極限値が異なります．
(a)なら → 1
(b)なら → 0
(c)なら → 1/(1 + a^2)
です．