円の問題です。

　一般論ですが、この種の問題は理論的に甘い上限、下限を示すことはできても、「これが最大個数」というのを証明することは極めて困難です。

　実際描いてみたら78個入ったというのだから、「少なくとも78入る」（下限）とは言えても、「79は絶対に無理」を証明するのは別問題。下限を改良するためには、コンピュータを使っていろいろやってみる、という方法もあります。

　たとえば、ですけど、
各円の中心点の座標を(x[i],y[i])i=1,2,....,N (Nはこの場合たとえば79)として、まず、半径10の大きい円の中にこれらをランダムにばらまきます。
各中心点iについて、他の中心点jとの距離の1/2、あるいは大きい円の円周からの距離のうち、最短のものをrとします。
　rが1よりも小さい場合には、rが大きくなる方向へこの中心点iを少し動かす。
これを全てのi=1,2,...,Nについてランダムな順番でやる。
この操作を延々と繰り返し、また「少し動かす」の「少し」の程度をだんだん小さくしていきます。

　そうすると、ひょっとすると、どの中心も動かす必要がなくなる可能性がある。そうしたらＮ個が収まる配置が見つかったという訳です。もし見つかったら、（これが「CADで描けた」ってレベルです。）今度はきちんと、その配置でN個が入ることを幾何学的に証明して、これで下限が改良されたことになる。旨く行かなかったらまたランダム配置を変えてやってみる。

　そういう類の問題ですんで、綺麗に解けるという訳には多分いきませんぜこれ。

　で、一番手っ取り早い方法はと言うと、実はパチンコ玉を79個持ってきて、これを玉の直径の10倍の内径を持つ円形容器に放り込んでかき混ぜてみる。がしゃがしゃやっている内に、上記の計算と同様のことが起こるわけです。

追加。

秋山仁教授の「円詰め」（缶だったか？）の場合は、正三角形でぎちぎちにつめていたように思います。正方形を正三角形につめれば、隙間は減りますから、たくさん入ります。端が正三角形にあいているのですが。
「７８個」が「正三角形」でぎちぎちに詰められているのなら、その中はそれ以上つめられないのですが、どういう形に詰まっているのでしょうか。

stomachman先生お久しぶりです。

５月はあまりお見受けしませんでした。（地球半径・・の質問でご登場いただけたらありがたかったですが）

最初、単純に、正３角形につめればいい、と思ったのですが、周りの隙間を上手くふさぐには、ちょっと崩す事も必要ですね。損して得取れ、ということでしょうね。
案外、計算嫌いがパチンコ玉など使って正解を出せるものかもしれません。

名前をど忘れしてしまったんですが数学者でひげを生やしてバンダナをはちまきにしてTVに出てる超有名人、

彼の専門分野ってこの手の問題だったと思います。

例えば２×１００の長方形の中に直径１の円がいくつ入るか？
簡単に考えると２００個だろうと思ってしまい勝ちですが、実はもっと多く入るのです。
実際に解答を見たことがあるのですが、ちっとも整然と並んでいませんでした。
ちょっと斜めに並んでいてそのうち列が入れ替わって…って感じで。

全然説得力の無いただの茶々入れですみません。
が、相当難しい深い問題だと思いますよ。

ズバリ、『78個』ではないでしょうか。

外周より
１列目－28個
２列目－22個
３列目－16個
４列目－ 9個
５列目－ 3個
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合 計 78個

ＣＡＤで実際に書いてみました。

ではでは☆～☆～☆

計算は面倒なので、いいかげんな答えを・・。

とりあえず、直径で１０個並びますから、それで正６角形並べをつくるまでは簡単ですね。あと、６角形の「辺」に並んだ小円と、大円の弧の間に何個はいるか？