誘いに同意する言葉と断る言葉について

日本の文化背景をとりあえず気にしないで、回答すると

同意：喜んでお邪魔させてください

断り：せっかくですが、また次の機会にさせてください
または、
　　　せっかくですが。またお誘いください

文化背景、というのを考えるとややこしい。
まず、日本人の習慣として、本気で誘う気がなくても、挨拶、礼儀、としてこのような形で誘うことがあるということ（こういうのを「本音と建前」っていうのですよ）。
ですから、これを言った人と、あなたの関係、言ったタイミングなどを見極めて、本気なのか、礼儀としてなのか、それを考えなくてはいけません。

相手が、「○月○日いらっしゃいませんか？」と具体的に言ったような場合は、間違いなく本気ですが、いつと具体的な提示をせずに言った場合は、礼儀の可能性もあり。

むずかしいぃ！日本人でも難しい。
まあ、最近は、こういう「礼儀としての」言い方はすくないので、若い人から言われたのなら、本気ととればいいのでしょう。

さて、相手が「礼儀としていってくれたのだな」と思った場合、
「ありがとうございます。機会があればぜひお邪魔させていただきます」
と答えましょう。
もし、あなたの判断が間違いで、相手が本気なら
「じゃあ、今度の日曜日に」や
「いえいえ、この後、食事でもどうですか」と
きちんと明確にいってくれるはずです。

はじめまして。

日本語学習中の方なのでしょうか？　以下、その前提で返答させていただきます。

まず、同意にしろ拒否にしろ「（誘っていただいて）ありがとうございます」からでしょうか。

同意：「喜んでお招きにあずかります」
会話では「はい、喜んで」だけでも失礼にはあたらないでしょう。また、同意する前に「よろしいんですか？」といちおう確認するのが普通です。
ただし、ご存知かもしれませんが、具体的に期日を指定するのではなく「今度うちに来てください」という言い方だと、言う方もあまり本気ではなく単なる社交辞令である場合が多いので、その点はご注意を。

拒否：「せっかくですが、今回は遠慮させていただきます」
または「せっかくですが」だけでもいいでしょう。この場合は、はっきり断らずできるだけ語尾を濁した断り方が礼儀だとされています。考えてみればおかしな話ですね。

＞「よろしければ、私の家に食事に来ませんか？」

＊同意
「ありがとうございます。喜んでお伺い（おうかがい）させて頂きます。」（かなり丁寧です）
「お邪魔して、宜しいですか？」

＊断る
「生憎（あいにく）所用があり、今回は遠慮させて頂きます」（かなり丁寧です）
「ごめんなさい。今日は用事がありますので、またお誘い下さい」

＞私の質問文の変なところも添削していただければ幸いです。

こういったネット上のでは、「皆さん、お久し振りです」といった言葉は
あまり使わないと思います。
（お久し振りは、久し振りに会った人や連絡があった人に使います）

「いつもお世話になり、ありがとうございます。」だけでよいと思いますよ。

> 日本人の友達のお宅（それとも「家」を使うべきか）

「お宅」は敬語です。友達本人に対して使うことはあっても第三者に対して使うことは少ないと思います。
そもそも、同世代の友人に対して敬語を使うのは他人行儀で水臭い ("見外的客套"的意思) 感じがします。

> 同意する言葉と断る言葉
這不是語言的問題,文化和風習的問題！

私なら、同意するときは、
「ありがとうございます、喜んで」
と言います。(直截的表達)
断るときは、婉言拒絶が無難です。
「ごめんなさい、その日は都合がつかないので」("對不起,那天我沒有時間"的意思) 或者説
「いずれそのうち」("再説ba"的意思)
断るとき、日本人は一般にストレートな表現 (坦率的表達) を嫌います。
相手との関係を壊したくないからです。

# 今天,我有点喝醉了,如果有甚麼錯誤,真不好意思....。