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kを、k≧0を満たす定数とすると、2じかんすうy=f(x)=-x^2+2kx-4x+4(0≦x≦1)の最大値について。

場合わけついてわかりません。

どうして
0≦k≦1と1<kがでるのでしょうか?

A 回答 (6件)

boku115さん、こんにちは。



>kを、k≧0を満たす定数とすると、2じかんすうy=f(x)=-x^2+2kx-4x+4(0≦x≦1)の最大値について。

2次関数は、
y=f(x)=x^2+2kx-4k+4(0≦x≦1)

と考えてよさそうですね。
これを平方完成していくと

y=f(x)=-(x-k)^2+k^2-4k+4
となるので、
頂点(k,k^2-4k+4)
上に凸の放物線、となります。

>どうして
0≦k≦1と1<kがでるのでしょうか?

最大値を求める問題ですよね。
もしも、0≦x≦1という条件がなくって、xはすべての実数をとってもよければ
頂点のときに最大値になっているのは、いいですよね?
でも、実際は0≦x≦1という定義域がありますので
この定義域の中で、最大値を考えていかないといけない。

(1)もしも、この定義域0≦x≦1の間に頂点がきていたら、どうなるでしょうか?
もちろん、頂点で最大になりますよね?
そのとき、0≦k≦1
ということですが、このとき最大値は頂点のy座標ですから
y=f(k)=k^2-4k+4
となります。

(2)次に、kが定義域をはずれたとき。
1<kのとき。
このときは、0≦x≦1の範囲では、右上上がりの曲線になっていますから
xが大きくなればなるほど、y座標も大きくなっています。
よって、最大値はy=f(1)
ということになります。

(3)k<0のとき
これは、一番最初に書かれたように、k≧0である、
ということですから、考える必要はありません。

というわけで、(1)~(3)より
場合分けは0≦k≦1と1<kの2つの場合を考えればよい、ということになるんですね。
頑張ってください!
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#2さんに対する補足からすると


y=f(x)=-x^2+2kx-4x+4
ではなく、
y=f(x)=-x^2+2kx-4k+4
なんでしょうか。
-4xなのか-4kなのかで当然解答は変わってきますが
基本路線は#3で発言したとおりです。
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こんにちは。


さて、早速なのですが、質問の式や条件は間違ってませんか?その通りの問題だとすると、やり方は#1さんの方法で正しいと思いますが。。
問題式を二次関数の基本式:y=(x+a)^2+bの形に直して(この場合軸が-a、頂点がb)
 y=-{x-(k-2)}^2+k^2-4k+8
となり、軸:k-2とわかります。
後は、#3さんのやり方でできます。
・)  軸≦0 → max=f(0)=4
・)0<軸≦1 → max=頂点=k^2-4k+8
・)1<軸   → max=f(1)=2k-1
現役ではないので自信なしですケド。。
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#2の方の解答のようになるんですが、


下の凸の放物線の最小値を求める
または
上の凸の放物線の最大値を求める
ときには
(i) 軸が定義域の左にある
(ii) 軸が定義域の中にある
(iii) 軸が定義域の右にある
の3つの場合分けになります。
あくまで、軸が自由に動ける場合の話ですけど・・・
参考までに。
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#1です。

うっかりしてました。
平方完成はわかりますよね?
平方完成をして、
f(x)=-x^2+2kx-4x+4
=-{x-(k-1)}^2+k^2-4k+8
となります。
k≧0という条件と、
軸がx=k-1であることを利用して、
0≦k≦1のとき、
k-1≦0より、最大値はx=0のときに出てきます。
1<k<2のとき、
0<k-1<1より、最大値はx=k-1のときに出てきます。
k≧2のとき、
k-1≧1より、最大値はx=1のときに出てきます。

こんな感じだと思います。
何かありましたらまたどうぞ。

この回答への補足

標準の形にすると
y=-(xーk)^2+k^2-4k+4ではないでしょうか?

補足日時:2003/12/10 22:14
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f(x)=-x^2+2kx-4x+4


=-{x-(k-2)}^2+k^2-4k+8
となるので、
場合わけは、k<2,2≦k≦3,k>3
とならないでしょうか?

何かありましたらまたどうぞ。
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