0の0乗

0^0は定義されていませんが、lim_(x→0)x^x=1です。

∵x^x=e^log(x^x)
=e^(xlogx)
=e^(1/t)(-logt) (t=1/xとした)
→e^0 (t→∞)

「現在の数学」の枠組みでは、0^0を定義してもなんの数学的意味も価値もないので、定義されていないんです。

ですから、残念ですが現在の数学では0^0がいくつになるかという議論自体が成り立たないんですね。

#9です、何度もすみません。

#12のranxさんの次のご指摘：
>f(x)=x^2 が x=0 で不連続になるということでしたら、直ちには頷きかねるような
>気がします。後でよく読んでみます。

のとおり、#9の下記は厳密ではありません。
>一方、べき関数f(x)=x^aの定義は、x≠0となっています(p240)。
上記でaを任意の複素数とするという条件をおわびして付加します。

一方、小平邦彦『解析入門(1)』のＰ91-92ではべき関数を次のように定義してあり、
a=0の場合とx=0の場合はべき関数の定義そのものに含まれていないようです。

『正の実数aを定めたとき、x^aは、Ｒ+ ＝（0,+∞)で定義されたxの連続な
　単調増加関数であって、・・・
　aを負の実数としたときには、x^aはＲ+ ＝（0,+∞)で定義されたxの連続な
　単調減少関数であって、・・・、
　xの関数x^aをべき関数という。』

結局、０の０乗を回避して定義していることには違いないと思いますが、
べき関数の厳密な定義に関し、自信がなくなってきました。

みなさんの回答通りだと思いますが・・・

数学教科書には、nの0乗＝１とする
と書いてありましたよo(^o^)o

「いくらになりますか」と聞かれれば、

「定義されていない」以外にはありえませんが。

「何になると思いますか」と聞かれれば、
１よりも「０」の方がなんとなく収まりがいい気がします。

えぇ、もちろん「なんとなくそんな感じがする」ってこと以外の何者でもありませんが。

#6 jmh です。

集合Ａから集合Ｂへの写像の個数は
　（Ｂの要素数）＾（Ａの要素数）
だったような気がします。

「写像」の定義を素朴に眺めていると「空集合から任意の集合への写像が１つある」といえるように思えてきます…。だから０＾０＝１というのはどうですか？

高木貞治大先生にいちゃもんをつけるなど、身の程知らずもいいところですが、

f(x)=x^2 が x=0 で不連続になるということでしたら、直ちには頷きかねるような
気がします。後でよく読んでみます。

それはさておき、0の0乗が定義されていないという見解には同意します。
しかし、それならば定義したら良いではないかという考えも起こります。
「定義」ですから何でも良いわけです。0^0=100でもいいですし、0^0=-2.3+5.6i
でもいいわけです。とはいえ、これが例外となってしまうような定義は
好ましいとは言えません。そうすると、多くの方が回答されているように、
0^0=1が候補として挙がってきます。これはなかなかよさそうです。
とはいえ、No.10さんが指摘されているように、0^0=1と定義することに
よって、この点が不連続となってしまうような関数も存在します。

結局、あらゆる面で合理的に0^0を定義する方法は無いということになると
思います。それならば、むしろ無定義のまま放置する方が合理的だと
思います。

定義されていないというのが正しいと思います．

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=79354
の私の回答をご覧下さい．

0の0乗がいくつになるかは定義するか、しないかの問題ではないでしょうか？

例えば2＾0について
2＾3は2を3回掛けたもの2＾2は2を2回掛けたものだから
2＾3×2＾2＝2＾5
2＾3÷2＾2＝2＾1
というように掛け算割り算の場合はべき乗の数字を加減すれば答えが求められる。
つまり2＾0は2＾ｍ÷2＾ｍ＝2＾0と考えられるので
2＾0＝1とすればべき乗の計算はべき乗の数字が0の場合も矛盾なく計算できます。
しかし、0の場合は0＾ｍ÷0＾ｍ＝0＾0とした場合
0＾0は0÷0をもとめることになりこれは計算できないことになります。ですからこの説明から0＾0＝1とすることは出来ないと思います。

では、次にA^BとしたときA、Bともに0に近づけていったときの値はどうなるか、これはA,Bの値のとり方によりいろいろな場合があります。

(1)A=0でBを正の数からだんだん0に近づけたとき
0＾2＝0、0＾1＝0、0＾0.5＝0・・・どこまでいっても0
こう考えれば0＾0＝0
(2)A=Bで正の数からだんだん0に近づけたとき
＃3の方がURLを紹介されていますがこれは1に収束するので
0＾0＝1
(3)A=(0.5)＾ｐ、B=1/ｐとおいてｐをどんどんおおきくすればA,Bともに0に近づきます。
このとき
A^B＝{(0.5)＾ｐ}＾(1/ｐ)＝0.5
となります。

このやり方でもA,Bをどう設定するかにより、収束する値が変わり0＾0がいくつになるか決めることは出来ないと思います。

これは0÷0と同じで計算できないというとするのが、合理的ではないでしょうか？もしくは0＾0＝0か0＾0＝1と定義するしかないとおもいます。

高木貞治の『解析概論』で確認しました。

指数関数f(x)=a^xの定義は、a>0,x∈Ｒが条件となっています(p25)。
一方、べき関数f(x)=x^aの定義は、x≠0となっています(p240)。

したがって、0の0乗は通常定義されていません。