内積

参考程度に

#3のjmhさんの回答にあるように内積値は面積値を表していますね。
bc*cosθ =(1/2)(b^2＋c^2-a＾2)
それで、その値は何を意味するのかというと数学ではなく物理数学の問題になりますね。
内積はエネルギー値ですね。物理では二つの事象が直交(位相）関係にあるとエネルギーにならないという原理がありますね。(消費がないとか相互干渉がないということ。）一方、直交関係で働くのは回転モーメントですから、外積はモーメント値を表しますね。
そんなことかなあ。

#1の者です。

レベルって行っても偏差値まで書く必要はないですよ。高校レベルか大学レベルか、数学的知識はどの程度か大体分かれば十分です。

大学レベルだったら、#1で済ませますが高校レベルだと逆に説明に困る。
通常は#2さんの正射影で説明されますがそれが分からなかったようですね。正射影で検索してみて下さい。

折角だから別の見方を。勿論観点が変わるだけで本質は今までの説明と同じです。

二つのベクトルの内積はそれらが直交しているかどうかの度合いを表わす。
因みに、大学ではベクトルが抽象化されて高校のときのような直交という現象が直感的には捉えられなくなりますが、まず内積が定義され二つのベクトルが直交しているとは、内積が0である事と定義されます。

ａ^2＝ｂ^2＋ｃ^2－２ｂｃcosθ

余弦定理（？）をご存知でしょうか？
直角三角形の各辺の周りに正方形を描いてそれらの面積を比較して三平方を証明する方法を真似て、この余弦定理を証明するときに、直角でないことに起因する三平方とのズレとして現れます。やってみてください m(_ _"m)ペコリ。

下図で、ベクトルｂは原点ｏから右へ伸びてます。ベクトルｃはｏから右上へ伸びてます。ｂの下にはｂを一辺とする正方形が描いてあります。ｃからｂに下ろした垂線でその正方形を貫いてます。＃部分の面積が、ｂとｃの内積です。

　　　ｃ／｜
　　　／　｜
　　／　　｜
　ｏ－－－＋－－→ｂ
　｜＃＃＃｜　　｜
　｜＃＃＃｜　　｜
　｜＃＃＃｜　　｜
　｜＃＃＃｜　　｜
　｜＃＃＃｜　　｜
　　－－－＋－－
　　　　　｜

ｂ⊥ｃだと、＃部分がペッチャンコになってｂ・ｃ＝０です。

manabumaxさん、こんばんは。

ベクトルを勉強されているんですね。

例えば、２次元だと、ベクトルは
→　　　　　→
OA=(x1,y1)　OB=(x2,y2)

とすると、内積は
→　→
OA*OB=x1x2+y1y2

と成分では表されます。

このとき、実は、ベクトルOAとベクトルOBのなす角度をθとすると、
→　→→　→
OA*OB=|OA||OB|cosθ

の関係が成り立っています。

ここで、→　→
　　　　OB'=|OB|cosθ
のようなベクトルOB'を考えると、
→　→　→　→
OA*OB=|OA||OB'|
OB'は、OBのOA上への正射影になっています。

また、特に
→　　　　　　→　　　　　→
OA=(x1,y1)と、e1=(1,0)　　e2=(0,1)基本ベクトル
との内積は、それぞれ

→　→
OA*e1=x1・・・ｘ座標
→　→
OA*e2=y1・・・ｙ座標

になっていることに気付くと思います。
つまり、どんなベクトルでも、基本ベクトルとの内積になっているんですね。

内積とは、つまり、ベクトルの大きさ（線分としての長さ）と
その方向を加味して評価する方法といえるでしょう。
あまり難しく考えすぎず、まずは定義をしっかり覚えることも大事ですよ。
頑張ってください。ご参考になればうれしいです。

ベクトル空間から数空間への双線形写像の事を内積と言います。

問題背景も、貴方のレベルも何も書いていないのでこれぐらいしか書けない。