ラグランジュの未定乗数法って何ですか？

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質問者：takatuki-urara
質問日時：2001/02/26 17:45
回答数：2件

ラグランジュの未定乗数法を具体的にわかりやすく教えて下さい。

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回答 (2件)

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No.2

回答者： ndfire
回答日時：2001/02/28 04:31

TeX表記をまぜて使います。

この方法は条件付きの極値問題を解決するのに使われます。

普通、関数f(x,y)の極値を求めるには、

f_x=0,f_y=0となる点A(a,b)を求め、
(a)Δ≡f_{xy}-f_{xx}f_{yy}<0であって、
(i) f_{xx}<0ならば、点Ａで極大
(ii)f_{xx}>0ならば、点Ａで極小
(b)Δ≡f_{xy}-f_{xx}f_{yy}>0ならば、点Ａは極大でも極小でもない
(c)Δ≡f_{xy}-f_{xx}f_{yy}=0のときは、これだけでは判断しきれず、
何か別の方法によって調べなければならない。
f_{xx}はfの右下にxxという添字がついていると思ってください。
これはfをxで偏微分し、さらにそれをxで偏微分したものです。
他も同様。

という方法を使います。
しかし、極値を求める際、何か条件g(x,y)=0によってx,yが拘束されることが
しばしばあります。
例えば、確率論でp_1+p_2=1という条件の下で、
何かp_1,p_2の2変数関数fの極値を求めよ、という問題などです。
（情報理論に出てくるエントロピーの最大値問題が典型的な例）

このようなケースで、(a)から(c)に示した方法で単純に極値を求めると、
今度はその極値における点A(a,b)が条件g(x,y)=0を満たしているか
どうかが問題になり、一般には満たされないのです。
ならば、(a)(b)(c)で求めた極値の中で、g=0を満たすものだけを
選び出せばいいじゃないか、と思うかもしれませんが、
そうは問屋が下ろさない。
もしかしたら、(a)(b)(c)で求めた極値における点は、どれもg=0を
満たさないかもしれません。
それに、(a)(b)(c)に示した方法は、関数f(x,y)が定義できるようなx,yの領域Ｄの
中で、自由にx,yが動き回って、その状況下で極値はどうなるのかを求める
方法です。

しかし、g=0という条件があると、g(x,y)=0という条件に拘束されながら
x,yを動かさなければなりません。g(x,y)=0が成立しているかを常に心配しながら
x,yを動かすわけです。

まともに解こうとすると
「ｘを自由に動かしてみてg(x,y)=0からyを求めて極値はどうなるかうんぬん、、
あれあれ？？わけわかんないぞ。」
という気持ちになり、精神状態が乱れてしまいます。

このような問題がラグランジュの未定乗数法によって解けるとは、素晴らしいことです。これを以下に示します。

関数f(x,y)が、条件g(x,y)=0の下で極値になるような変数x,yの値を決定するには、関数h(x,y)=f(x,y)+λg(x,y)を導入し、連立方程式
hをxで偏微分したもの=0
hをyで偏微分したもの=0
を解けばよい。

詳しくは
岩波書店
理工系の数学入門コース１「微分積分」和達三樹著
第5章演習問題[10]を参照。
このシリーズは全8巻で、人間性豊かな文章に感動されられる本です。
僕はもう少しで8巻を読破しますが、
このシリーズは人生の大きな糧になりますよ。
絶対の自信をもって大推薦します。