規則性があるのでしょうか？？

１から始めると、

1周目・・・奇数が消え、偶数が残ります。
2周目・・・4の倍数がすべて残ります。
3周目・・・8の倍数がすべて残ります。
4周目・・・16の倍数がすべて残ります。残っているのは16n(n=1,2,...,625)
5周目・・・32の倍数がすべて残ります。ここで10000が消えます！残っているのは32n(n=1,2,...,312)
6周目・・・10000が消えてしまったので、ここでは64の倍数（上でいうnが偶数の分）が消えます。残るのは64n+32(n=0,1,...,155)。また最後尾32*312が消えます。
7周目・・・ここで消えるのは上記でnが奇数のもの。残るのは128n+32(n=0,1,...,77)。最後尾64*155+32は消えてしまいます。
8周目・・・ここで消えるのは上記でnが奇数のもの。残るのは256n+32(n=0,1,...,38)。最後尾128*77+32は消えます。
9周目・・・ここで消えるのは上記でnが奇数のもの。残るのは512n+32(n=0,1,...,19)。最後尾は残ります。
10周目・・・ここで消えるのは上記でnが偶数のもの。残るのは1024n+544(n=0,1,...,9)。最後尾は残ります。
11周目・・・ここで消えるのは上記でnが偶数のもの。残るのは2048n+1568(n=0,1,2,3,4)。最後尾は残ります。
12周目・・・ここで消えるのは上記でnが偶数のもの。残るのは4096n+3616(n=0,1)。最後尾は消えます。
13周目・・・ここで消えるのはn=1のほう。残るのは3616です。

ということで、#1さんにつながりますね。^^

ごめんなさ～い　　ｍ（_　_）ｍ

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＞はじめの数環境で、2003から3616逆戻りさせた数は
＞12003-3616＝8387
＞よって、8387
＞からはじめるとよい。


1からはじめると3616が残る。

1つバックすると、
10000からはじめると3615は残る。

3615-2003＝1612

（10000-1612）からはじめると（3615-1612）がのこる。

8388からはじめると、2003がのこる。

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ほんどだ。
負けてる。
しかし理論的な表現力では勝ってると思いたい。
むむむ。負け惜しみです。
epson01さんの勝ちです。この種のものはかなり研究済みだったはずなのに
自信ありだなんて。はずかしい限りです。　　　　　　　　　　　（＞_＜）

1、つまり10001から3616-2003＝1613バックさせるべきでした。
ごめんなさい。　　うるうる（；；）

#1です。

＃６さんの回答であれば「2002」で終わると思いますが・・・。

*****質問：規則性があるのでしょうか？？ *************************************************

円状（右回り）に数字を１から順に並べます。そして１から順に1つ飛ばしで数字を消していきます。
つまり1の次に3が消え、その次に５が消え・・・。というわけです。最後に残る数字は何か？と言う
問題です。下図は１から８までの場合です。
　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　１
　　　　　　　　　８　　　２
　　　　　　　７　　　　　　　３
　　　　　　　　　６　　　４
　　　　　　　　　　　５
この場合、まず1が消え次に3が消え、5が消え7が消え2が消え6が消え4が消え最後に8が残るわけです。

ここからが質問です。この方法で数を1から10000まで並べました。そして順にさっきの方法で数を消
していったところ、最後に2003が残った。どこからはじめればよいか？
（１から始めるという条件は無効です）

うーん規則性でもあるのでしょうか？まったく分かりません。どうか分かる方おしえてください。
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■規則性はあります。■
数を2進数であらわすと、1から10000までの数では、10000が残る。つまり2の累乗個あるとき
最後の物が残ります。

2）10000
2）5000・・・0
2）2500・・・0
2）1250・・・0
2）625・・・0
2）312・・・1
2）156・・・0
2）78・・・0
2）39・・・0
2）19・・・1
2）9・・・1
2）4・・・1
2）2・・・0
　　1・・・0
（10000＝8192+1024+512+256+16）

だから、10000（10）＝10011100010000（2）である。
11100010000（2）個取り除いたあとは2の累乗個残る。
この次に除く数の1個前が最後に残る。
仮に1から取り除くと、
11100010000（2）番目に取り除くのは、11100010000（2）番目の奇数
11100010000（2）×10（2）-1（2）
である。最後に残るのは
11100010000（2）×10（2）＝111000100000（2）＝2048+1024+512+32＝3616
である。はじめの数環境で、2003から3616逆戻りさせた数は
12003-3616＝8387
よって、8387
からはじめるとよい。

epson01 さんと kony0 さんの解説付きのご回答がありますので蛇足です．

この種の算法は昔から「継子立て」(ままこだて)として知られていて，
ヨーロッパにも日本にもあります．
日本では徒然草の百三十七段に記述があります．
先妻の子と後妻の子が遺産を争い，質問のようにして最後に残った子を
遺産相続者とした，というような話から「継子立て」の名がついているようです．

１つおきではなくて２つおきや３つおきなどで数字を消すとか，
円形でなくて直線状にならべて端まで行ったら戻ってくるとか，
変形がいろいろあります．

＃３の回答の方針はただ１つ。

ある周回のときに、最後尾にあるものが消えるか消えないかを考慮する。
これは次の周回のときに、１つめにあるものが消えないか消えるかにつながる。
ポイントはこれだけだったりします。

1を先頭にした場合

2,2
3,2
4,4
5,2
6,4
7,6
8,8
9,2
10,4
11,6
12,8
13,10
14,12
15,14
16,16
17,2
18,4
19,6
20,8
21,10
22,12
23,14
24,16
25,18
26,20
27,22
28,24
29,26
30,28
31,30
32,32
33,2
34,4
35,6
36,8
37,10
38,12
39,14
と繰り返します。

10000の場合、1から始めれば「3616」が最後となります。

よって、そのままスライドすれば
3615-2003=1612
10000-1612=8388
よって8388が解となります。