正七角形の書き方(その2)

珍回答で終わりは私もありゃ～と思っていました．

回答書いて送ろうと思ったら締め切られていたんですよ～．

360°を割り切れないとダメ，は明らかにおかしいですね．
角の二等分はよく知られていますから，正 2^k 角形 (k>2) を作るのは簡単．
正１６角形でもう 360°を割り切れなくなっちゃう．

コンパスと定規で使うという，通常の作図のルールで作図できる正ｎ角形は
Gauss が 1796 年に結論を出していて
n = 2^k×(互いに相異なるフェルマー素数の積)
に限ることがわかっています．
フェルマー素数とは 2^(2^p)+1 の型の素数で
p=0 の３，p=１ の５，p=2 の１７，p=3 の２５７，p=4 の６５５３７
が知られています．
p=5 は 641×6700417 と分解出来るのを Euler が発見しています．
他にフェルマー素数があるかどうかは多分わかっていないんだと思います．

n = 2^k×3×5 の正ｎ角形が作図可能なのは大昔(ユークリッドの頃？)から
知られていました．

なお，正ｎ角形が作図可能であるのと，
円分方程式 z^n = 1 の解が有限回の加減乗除と平方根で書けるのとは
同じことです．

結論として，正７角形は通常の作図のルールでは作図出来ません．

一辺の長さが１の正七角形において、

短い方の対角線の長さは　2cos(π／７）=1.8019…
長い方の対角線の長さは　1+2cos(2π／7)=2.2469…
でありますが、
一方で　平面グラフにおいて、
y=x^2 -1 (放物線）と　y=(1/x-1)+1 (双曲線）
（それぞれy=x^2, y=1/x を平行移動させたものです）
の交点が３つあり、そのうちの一つが
（1.8019…,2.2469…)　になります。　
これで「正七角形の対角線の長さは放物線と双曲線の交点の座標で表すことが出来る」と云うこと、
または「正七角形は作図可能である」と云うこと
（辺の長さと対角線の長さが解れば、正多角形は描けます）
を示せると思います。
　（『定規とコンパスのみでは作図不可能である』ということを覆すものではありません）

stomachman さん：

> だけど１７角形は描けるんだぞ！って。
> じゃあやってみせろとクラス中が要求したのを思い出した。

ひゃぁ～，きびしい要求ですね．
もしかして，stomahman さんが先頭にたって要求した？

本題から離れますが，高木貞治の「近世数学史談」に Gauss 自身が手紙で
このことに触れているのが紹介されています．
それによりますと，360°= 17φとして
(1)　　x^2 + (1/2)x - 1 = 0
の解が e と f (ただし，e > f)
(2)　　x^2 -ex - (1/4) = 0
の解が a と b (ただし，a > b)
(3)　　x^2 -fx - (1/4) = 0
の解が c と d (ただし，c > d)
(4)　　x^2 -ax + (1/2)c = 0
の解が cosφ と cos(4φ) (もちろん，cosφ > cos(4φ))
という組み立てになっています．
２次方程式の解の作図はよく知られていますから，
結局 cosφが作図できて，正１７角形が描けることになります．

作図の誤差が出るから，果たしてきれいな正１７角形になりますかね．
実用上は分度器の方が良さそう．

　siegmund先生の完璧回答を見てstomachman、かすかな記憶がよみがえった。

小学校の先生が言ってましたよ。７角形、１１角形は出来ないんだ。それより上のはなおさら無理だと思うだろ、だけど１７角形は描けるんだぞ！って。じゃあやってみせろとクラス中が要求したのを思い出した。

　誰が証明したんだっけかなー、と思いながら、我流でコンパスと定規で作れる長さの群をちょこちょこ検討し始めていたところ。フェルマー素数だって。アブナイ、アブナイ。半年掛かるところでした。
　そこでフェルマー素数でサーチ掛けてみると正n角形がいっぱい出てきます。ガウス１８才の作だそうで。

　PCがこれだけ普及しちゃうと、コンパスと定規で、なんてホントに人為的・パズル的な制約にしか見えませんよね。分度器説も出てくる筈です。

えーっと、まずはstomachmanさんの指摘に答えますと、円を弧度法で表わすときは2πですのでそれをn等分するので2sin(π/n)では違う意味になりませんか?

次に基本的に書けないと言ったのは、一般に使う道具で正確に書けないだけの事です。これは、下に書いた通り大まかで良いならそれでも良いですが。

さては「正五角形の描き方」の応用で方程式を作ったんですね。

数値計算するならともかく、解析的に解くのはめんどくさくて大変。Mathematicaを利用してはいかがでしょう。

keroroさん<
半径１の円に内接する正n角形の一辺の長さは2 sin(π/n)じゃございませんでしょうか？

正7角形の内角を計算する事は可能です。

ただ、一般に書こうとしても正確には書ききれません。多少のずれを気にしないのなら分度器で作れば良いのです。
それから、sinπ/7という長さではできません。（これだって円を用いないと使えませんが）
おくなら、sin2π/7とおいて下さい。（ちなみに、この置き方だと一辺1の単位円が元になります。）

sin π/7 という長さを作ればよい。

θ=π/7、x=(sinθ)^2とおいて、sinπ=sin 7θを倍角公式で展開してみると
0= -64x^3+112x^2-56x+7
となります。これを解けばxが決まるわけですが、しんどい。
毎度中途半端ですいません。

どこぞで毒されているんですかね。

真面目に質問している印象は受けませんが。

↓以下のURLが参考になるかと。

参考URL：http://www.nikonet.or.jp/spring/ori_h/ori_h.htm