１＝０．９９９９９９９９は正しい？

これ、中学生ぐらいの生徒に、小数の意味を教える為に

よく使われる例ですね．

１／３＝０．３３３３３３３３３（３は無限に続く）　から
１＝０．９９９９９９９９（９は無限に続く）　というのが本来の
引用だと思うのですが、
中学生であれば正解。一般の人でも正解。理系の大学生以上なら不正解です。

漸近線の取り方の問題になります。
たとえば、タンジェント９０度というのは、８９度からみると正の無限大
９１度から見ると負の無限大ですね。
９０度の代わりに８９．９９９９９９９９（９は無限）　を使うと、このうちの
８９度からの数値しか表しません．

同様に、０．９９９９９９９（無限）というのは、
０．９から１に近づいていくけれども永久に１にならない数字をさします。
１の直前で線形が崩れている対象では、０．９９９９９＝1は
成立しません．

なお、１３４さんの例は、乗算時にかならず１つ有効桁数が変化している事に
注意してください．

前に134さんが答えたように

Ｘ＝0.999999・・・
10Ｘ＝9.999999・・・

9Ｘ＝9
∴Ｘ＝１
と考えられるのは・・・の部分が全く同じ物であり打ち消せるからである。
だから
1/3Ｘ＝0.33333・・・
10/3Ｘ＝3.33333・・・

3Ｘ＝3
Ｘ＝1
も同じ事になるんです。
しかし、割り切れない循環小数の為微妙なずれが生じます。そのずれを入れてはじめて1と＝です。
数(3)をやると近似と言って0.99999・・・≒１とする事が出来ます。
分かりやすく言うと10億円ある中の1円が無くなったとしても影響が無いですよね。そういう意味で上の考えが出来るわけです。

そもそも０．９９９９９９９９って何？って話しなんですけど、

要は極限値をlimとかΣとか使わずに見た目に分かりやすく表したものでしょ？
そしたらその級数は何に向かって行くかって言ったら１にきまってる。ね。

　えと、小数点以下、いつまでも０以外の数字が並ぶ数を無限小数といい、そのうち、決まった数字が並ぶ数を循環小数といいます。

　９だけ並ぶ循環小数は、１になります。

　ｘ＝０．９９９９９…　としたとき、
１０ｘ＝９．９９９９９…となります。

下の式から上の式を引くと
　９ｘ＝９　となり、ｘ＝１　となります。

また、　　　　わり算の一般的な計算の仕方

　　　　＿＿＿＿＿＿＿
　　１）　１．

としておいて、１の位に無理に「０」をおき、小数点以下をずっと「９」にしておくと、９の循環小数になります。

この問題はこの教えてgooでも何回か

でている質問ですよ。（＾-＾）
えっと質問検索で 0.999とうって検索したところ
以下の頁が見つかりました。
参照してみてください。

参考URL：http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=32339,h …

電卓で１÷３を計算すれば、０．３３３３３３３３３になるでしょうけど、数学の計算だったらイコールじゃあないと思います。

３が無限に続くわけですから。
数学じゃなくて、電力の計算とか長さを測るとかそういう場合にはこの程度の違いは「無視できる誤差」としてイコールにしてもよいでしょうけど・・・。