数学・科学理論

●数学

　「数学的帰納法」というものがあります。すなわち、P(n)を自然数nに関する何かの性質だとして、
(1) n=0のとき、P(n)が成り立つ。
(2) もしP(n)が成り立つのであれば、P(n+1)も成り立つ。
の二つを証明すれば、
結論：全ての自然数n=0,1,2,.... についてP(n)が成り立つ。
と言える。
名前は「帰納法」でも、実はこれは演繹なのです。

　では、数学では帰納を使わないのか？そんなことはありません。
　色々な例を調べてみて「どうもＸＸという性質がいつでも成り立ちそうだ。」という予想を立てるのは、まさに帰納であり、科学において「仮説」を作るのと全く同じことです。
　このような予想が提出されると、その予想を満たさない「反例」が作れないか、あるいはその予想が演繹によって証明できないか、この両方向での研究が行われます。つまり研究の方向を与える、という意味で予想は非常に重要なのです。これも科学と同じですね。
　比較的最近解決された有名な予想は「a^n + b^n = c^n (n>2)となる自然数(a,b,c,n)はない。(フェルマーの予想）」であるとか、「平面上の地図は４色で塗り分けられる。（四色問題）」などですね。未解決の重要な予想も沢山あり「仮にその予想が正しかったとしたら、」という前提で、既にその予想を利用した理論が発展しています。もしこの理論の中で数学的矛盾が発生すれば、全て無駄になってしまうのか？いや、そうじゃありません。矛盾が出たということは、すなわち「予想が正しくないことの証明」が出来た事に他ならない。これは大変な成功ですね。だから予想が正しいのかどうか、結論を待たずにどんどん研究は進むんです。

●科学
　さて、Umadaさんの解説の通り、科学においては物事を観測して「どうもＸＸという性質がいつでも成り立ちそうだ。」という仮説を作る。これが帰納です。そして「もし、そういう性質がいつでも成り立つとすれば、こうなるはずだ」という演繹を行い、その予想に基づいて実験をしてみる。それで予想に反した結果になれば、仮説は間違っていたことになり、もういちど仮説を考え直す。さまざまな実験による検証を耐え抜いた仮説は、暫定的に「法則」として認められます。しかし一つでもこの法則に反する現象が見つかれば、またやり直しです。そうやって進歩していきます。
　もし長年の検証に耐えてきた法則の反例を見つけたら、大発見ですね。だから、よくオカルトのヒトが言う「科学者は科学の権威を守るために、従来の科学に反することは黙殺する」なんてのはとんでもないヨタ話で、科学研究の最も重要な役割は「従来の科学に反すること」すなわち反例、例外を一所懸命探すことです。

事物の観察から法則を見出すことが科学における帰納です。

たとえば光の速度を計測する実験を繰り返し、光速が不変であるという法則を打ち出すことが帰納に当たります。
光速不変という法則から別のあることを導き出すこと、たとえば時間が相対的なものであるということを導きだすのが演繹に当たります。
重ねてになりますが、個々の事象から根本原則を見出す行為が帰納、根本原則から個々の事象を導き出す行為が演繹です。

科学理論においてはほとんどすべての場面で演繹が使われると言ってもいいでしょう。基本的な法則(例えば、ニュートンの運動方程式)というものは数えるほどしかなく、それ以外のほとんどはその基本的な法則から導きだされるものだからです。

数学はそれ以上「なぜ」を問うことのできない公理を出発点にして組み立てられている理論です。ある命題が正しいことを、公理(公理から導かれる諸定理も含めて)から導き出すことが「証明」なわけですが、これは上述の説明のように演繹にほかなりません。