線形、非線型ってどういう意味ですか？

まず、「函数」を1つの何か入れる（入力する）と、何かを出す（出力する）箱と考えます。

線形ってのは、「函数」って箱の中になにかを入力すると、出力が入力の何倍かになっていることを言い、非線形ってのは出力が入力の何倍ってのでは表すことができなくなるような「函数」を言います。と、教わった事があります。

No.7 stomachman氏のコメントに関しての補足

「線形」か否かの判断については氏のコメントどおりで，きちんとした話をする時は注意しておかねばなりません．しかし，皆さんわかっていてあえて言及されなかったようなので，蛇足ながら付け加えておきます．

線形理論の有効性に関して1つだけ補足しますと, 元の系が1次の関係で表現できる問題（例えば y=ax+b で b≠0でも）ならば
微分方程式の話などを学ばれると特によく理解できるのですが,
「非同次方程式の一般解=同次方程式の一般解 ＋ 非同次方程式の特解」
といった話があって, かなり線形理論の議論が有効です．（「そんなもんですか」で構いません．）

方程式ではありませんが, 先の例でも f(x)=2x+1=2(x+1/2) と書いて見れば予想がつくように，適当に原点を取り直した変数X=x+1/2 について関数F(X)=2Xを定義して考えれば，これまでの(厳密な)線形系の話に帰着されるわけで，元の系の応答が直線的（例えば y=ax+b で b≠0でも）ならば線形理論の議論が有効です．

物理をもし勉強されていれば，一例としては，鉛直につるされたばね振り子に重力がかかっても，つりあいの位置がずれるだけで，単振動の周期その他の運動の性質は変わらないことを思い出してもらえればよいかも知れません．
さらにいえば，ばね振り子の強制振動の話を思い出してもらえると．．．
ちょっと望みすぎでしょうか．

カンチガイしがちな所を含んでますんで、ちょっとコメント。

●例：　f(x) = 2x+1　は線形？非線形？

No.4の定義をよく見てチェックしてみましょう。
f(x+y) = 2(x+y)+1 ≠ 2x+1+2y+1=f(x)+f(y)
ですから、これは非線形なんですね。

１次式だから線形…と短絡したら大間違い。

●ところがやっかいなことに、
「変数yはxに対して線形(linear)であった。」なんて論文に書いてあると、これは
「y = ax+bという関係だった。」という意味なんです。

つまり、「変数と変数の関係という意味での『線形』」は１次式のこと。(回答No.1～3）
関数や変換の性質としての『線形』」はNo.4の定義の通り。（回答No.4～6）
両者は意味が異なるんです。

線形性の定義はNo.4のMell-Lily氏が述べられていますので, 繰り返しませんが, 線形系・非線形系の特徴と違いについて簡単に述べたい

と思います.

線形系(線形システム)の特徴は，重ね合わせが利くことで,
＠線形方程式では x1とx2が解なら，x1＋x2も解．さらに定数α，βとしてα*x1+β*x2 も解 (解の重ね合わせの原理)
＠線形系では作用に応答が比例し（直線的応答），また，作用x1に対する系の応答がf(x1), 作用x2に対する系の応答がf(x2)ならば，作用x1+x2に対する系の応答はf(x1+x2)=f(x1)+f(x2) (それぞれの場合の応答の和)になる
という，著しい特徴があります．
それで解析が容易であるため，広く使われます．もっと積極的に言えば，自然界の多くの現象は，作用があまり大きくない範囲では作用に比例する直線的応答の部分のみ考えればよい場合が多く，高次の項が無視できる範囲では，線形モデルによる扱いが，解析の容易さもあって，多く使われます．

それに対し，非線形系はどうでしょう．Mell-Lily氏も挙げられた2次関数 y=x^2 の例であれば，作用が2倍，3倍となっても，応答は比例せず，4倍，9倍となっていきます．応答が直線的でない（非線形な）わけです．

しかし，問題となる系の性質がもともと非線形で，しかも非線形性が強く出る現象を扱うときは線形の扱いはごく限られた範囲の近似としてしか使えなくて（これは例えば，2次関数やもっと一般の曲線に接線を引いて，その接点のごく近くで直線とみなす扱い[いわゆる1次近似]です），元の問題（非線形系）をダイレクトに扱う必要が出てきます．
しかし，概して1次関数の問題に比べ，2次以上の整関数やもっと一般の曲線で表される関数の問題は（お互い）難しいからいやですね．
重ね合わせのような一般的性質は普通なく，問題ごとにその特徴を考えるか,数値的扱いとかしかないので，解析が難しいことが多く厄介なわけです．

　

線形、非線形は、普通、関数について言われます。線形関数という風に言います。何かの関係が、線形関数で表現できる時、この関係は「線形」だと言います。非線形関数とは、線形関数でない関数です。

線形関数については、一次式というものを考えると分かり易いです。

一次式というのは、

a*x＋b*y＋c*z＋d*u＋e*v＋……　　　「式Ａ」

というような式です。x, y, z, u, v,……は変数で、a, b, c, d, e,……は、実数の係数です。

こういう一次式に対し、関数ｆ（Ｗ）があって、それが、

ｆ（a*x＋b*y＋c*z＋d*u＋e*v＋……）＝a*ｆ(x)＋b*ｆ(y)＋c*ｆ(z)＋d*ｆ(u)＋e*ｆ(v)＋……　　　「式１」

という風に展開できる時、関数ｆ（Ｗ）は、線形関数ということになります。

こんな風にたくさん変数を使わなくとも、二つだけの変数でも構いません。つまり、

ｆ（a*x＋b*y）＝a*ｆ(x)＋b*ｆ(y)　　　「式２」

こういう関係が成り立てば、ｆ（Ｗ）は線形関数です。
何故なら、y＝i*z＋j*u　……z, u は変数、i, j は実数の係数
とすれば、

ｆ（a*x＋b*y）＝a*ｆ(x)＋b*ｆ(y)＝a*ｆ(x)＋bi*ｆ(z)＋bj*ｆ(u)

となり、係数が、bi, bj になっていますが、これは、最初の一次式のなかの変数が三つの場合に当たるからです。こういう風にして、幾つ変数のある一次式でも、最初の二変数の一次式線形関数から造れるので、「式２」で定義できることになります。

線形関数の特徴は、ｎ個の変数の一次式を関数に入れると、そのまま、ｎ個の、一変数を持つ線形関数の和として置き換えることができるということです。

変数x, y, z, u, v, ……を、「式Ａ」のようにすることを、変数の線形結合と言います。こういう結合になっていると、線形関数に代入すると、各変数の関数に分離できるからです。

線形関数から出てくる線形代数というのは、簡単なように見えて、非常に適用範囲が広いです。ヴェクトルの演算や、行列の演算、また微分方程式などでも「線形性」があり、微分方程式が線形だと、解きやすいですが、非線形だと普通解けないので、数値解析します。

非線形モデルというのは、「関係が線形関数で表現されないモデル」で、変数が複数あって、互いに関係し合っている場合などで、この関係が線形でない時、どういう関係なのか、具体的に問題を解こうとすると非常に難しくなり、答えを、数値計算とか、近似値でしか表現できなくなることが多いです。
　

式f(x)について、

　f(kx_1+lx_2)=kf(x_1)+lf(x_2) … * (k,l∈R、Rは実数全体の集合)
が成り立つとき、f(x)は線形性をもつと言います。
いま、f(x)=axとすれば、
　f(kx_1+lx_2)=a(kx_1+lx_2)=akx_1+alx_2=k(ax_1)+l(ax_2)=kf(x_1)+lf(x_2)
ですから、*が成り立つので、f(x)=axは線形性をもちます。
ところが、f(x)=x^2とすると、
　f(kx_1+lx_2)=(kx_1+lx_2)^2=k^2x_1^2+l^2x_2^2+2klx_1x_2≠kx_1^2+lx_2^2=kf(x_1)+lf(x_2)
ですから、*が成り立つので、f(x)=x^2は、線形性をもちません。
方程式f(x)=0がx_1,x_2を解にもつならば、*より、kx_1+lx_2も、この方程式の解になります。

2次元モデルでいうと、

線形→直線
非線形→直線でない

と思いますよ。

「線形」と言う用語が中途半端ですね。

まー、仕方ないですかね。
直線の一部を「線分」といったりしますから。
「直線形」といってくれたら誰でもすぐわかるんですけどね。
ついでに「非線形」は「非直線形」つまり「曲線」のことなんです。

　線形とは、変数同士の関係が一次方程式で表現できることを言います。

　非線形とは、線形ではないことを言います。

参考URL：http://www.eli.hokkai-s-u.ac.jp/~kikuchi/ma2/cha …