エントロピー

ボルツマン流の統計力学では S = k log W はエントロピーの定義です．

W は，エネルギー，体積，粒子数を指定したときの
ミクロな状態数です．

エントロピーＳはもともと熱力学でクラウジウスが導入した概念です．
準静的変化で微少熱量 dQ と dQ = ＴdS の関係にある S が
状態量であるというのが，熱力学的なエントロピーの導入です．
クラウジウスの時点では状態数と関係があることはわかっていませんでした．

お尋ねの件は，証明というより，エントロピーの２つの定義が
同じものであるかどうか，というようなことになると思います．
熱力学・統計力学の構成全体を理解していただかないとならないので
ここではとても書き切れません．
大学の物理学科の２年か３年で半年間の講義，
あるいは教科書一冊になってしまいます．

frank さんが書かれているように，
適当な統計力学の本を読んでいただくより仕方がないと思いますが，
量子力学などの知識も必要ですから，それなりの難しさはあります．
「本を何冊かみましたが省略するとかいてありました」は
そういう事情によるのでしょう．

余談ですが，ウィーンにあるボルツマンのお墓には S = k log W
の式が刻んであります．

有名なボルツマンの式ですね

私の手元にある本には証明がされてあります
ここで証明するのは難しいので、本を紹介します

岩波書店の物理入門コース、熱・統計力学

です
「統計力学」の本を読まれてはいかがでしょう
それならたいていは導いてあると思うんですが
ただし、物理が専門でないのでしたら理解するのは困難かもしれません
物理専門でないならそういうもんだとして使ってもいいかもしれません

参考URLをつけておきます
このサイトの中のどこかにいい所があるかも

参考URL：http://ha2.seikyou.ne.jp/home/Kiyoshi.Shiraishi/ …