one's rose という意味はありえますか？

店名ですから、何よりも誰にでも覚えられやすい名前が一番ではないでしょうか。

私の住んでいるところに由緒ある洋風建築物を復元し、賞をいくつも取った建物を喫茶店にしているところがあるのですが、その名前がフランス語のテュ・プランド・デュ・テという舌をかまずにいられない、絶対覚えられないもの。しかも発音は間違っているような気が・・・
みんなは通称の「大手町ハウス」と呼んでいます。
こちらの方がずっと親しみやすいし、建物の雰囲気にあった大正ロマンをかえって感じさせてくれます。

ということで、今回のお店の名前は言いやすくて覚えやすいものがいいのではないですか。英語を知らないお年寄りでも簡単に覚えられるものが一番では。
簡単に、＃3さんが提案の「マイ・ローズ」がいいような気がします。
これだけで私は「自分だけのバラ」というイメージを持ちますよ。

他の回答者の方が仰られているように、one'sのみだと

ちょっと考えないと意味が取り難いし、不特定多数を連想
させてしまうかもしれませんね。

私だけの、と言う意味合いを強調したいならば、
ownを使って所有格を強めてはいかがでしょう。

one's own rose
my own rose

など、ちょっとはこだわりの部分が
意識できるかな、とは思いますが。

もっとも、英語的に正しいかどうかと言えば……
ちょっと自信がありません、申し訳ありません。

ご選択の範囲を広げてしましますが、薔薇はフランス語でもrose です。

ささやかな提案を致します。

エディット・ピアフのシャンソンに　la vie en rose（人生は薔薇色） とあります。
このrose を複数形roses として、私の（ma)に変えると

ma vie en roses

(薔薇に捧げた私の人生→薔薇三昧）
となります。

これですと、ちょっととお感じになるのでしたら
このen を　de に変えて　人生を心（coeur)にして

mon coeur de roses

(薔薇から生まれる私の心→薔薇に魅せられた私）

薔薇はその言葉のバラからもイメージできますように
花びら一枚一枚にも魅力があります。
そこを私は知っているのだとのニュアンスを付けて

mon petale de rose

としても良いかもしれません。

でも、お勧めは、薔薇は香りも命です。
そんな香りを運んでくれるのは風（vent)を織り込んで

ma rose des quatre vents

四方の風（quatre vents)が熟語でありとあらゆるとの意味になりますから,
四方八方手を尽くして探し（育て）た私の拘りの薔薇となり
同時にその風で薔薇の芳香があたりに広がることをイメージできます。


最後に
開店のお祝いに、次に薔薇の花束の画像をお楽しみ下さい。
パリの有名な薔薇専門店（　au nom de la rose (意味：薔薇の名に於いて）です。
http://www.aunomdelarose.fr/coeurs/index.cgi?cws …

読みと発音の表記は省略ですが、ご興味があれば追加いたします。

英語はそれほどよく解らないのですが、one'sだと不特定な感じで（辞書によく出てくる形）、「わたし」ということは連想されません。

「誰かのバラ」という感じ？？？
one'sというとこんなイメージなんですよ。
「所有格」my, your, his, her, our, their....などなど。
http://ja.wiktionary.org/wiki/one's

たとえば辞書に例としてon one's way とあったら、on my way / on his way などなどを当てはめる。
　
せめて　My Rose　とか　Your Rose のほうがパッと見てわかりそうな気がします。英語でそういう言い方をするか分かりませんけれども。
Googleで見ると、my rose garden　とか my rose of～とか、後に何か続くのが通例のようです。

"one's rose"でググってみると一応文例はヒットしますが、前に何か付いたり、文中で使われているようですし、あまり多用はされないみたいで、Googleに「もしかして: "one rose" 」なんじゃないの？と指摘されます・・・。

たしかに英語が解る人に笑われるのも困るのですが、かといって英語的に正しいからといって一般的な日本人に覚えられないような語の響き・長さだと、店舗名としてはそれも困りますよね・・・・。

My Rose Flower
My Rose Flowers　
My Rose Bouquet

などは言えるみたいですけど。

"My Rose Bouquet"とダブルクォーテーションで挟んでGoogleで検索するとそれが入った英文がヒットしますので、いろいろ入れ替えて試してみては？

まず、そこまでこだわりたい店名なら、ご自分が理解している言語（日本語？）にするとか、信頼できるお知り合いに相談するほうがいいと思います。

家族が贔屓にしている、とあるお店に、もっっっのすごく意味不明な英語の看板がデカデカと掲げてあって、いつか店主に意図を聞きたいと思いつつ、恥をかかせたら申し訳ないと遠慮しながら、前を通るたびに心の中で笑っていますから。

さて、前置きが長くなりましたが、やはり＃１さんがお書きになっている通り、「one's rose」では、まずパッと見て意味がわかりませんし、敢えて言うなら辞書を見ているようですね。「こだわり」というニュアンスは一切感じられません。

どうしても英語にしたいなら、「My One And Only Rose（私のとっておきの薔薇）」「The Rose Just For Me（私だけのための薔薇）」などが、長ったらしいのですが、比較的、響きがいいように思います。あるいは、「当店だけが置いている選りすぐりの薔薇」という意味合いなら、逆にお客様を指す「あなた」という言葉を使って「The Rose For You（あなたのための特別な薔薇）」というのもアリだと思います。

ただ、名前とかキャッチコピーというものは、その短いフレーズに込められた想いを正しく把握していないと訳しにくく、たぶん、この限られたQ&Aのスペースで、あなたの言わんとする「私だけの薔薇」の意味合いを赤の他人に伝えるのは無理なような気がするのですが。

店名案の「one's rose」だと、「私の～、あなたの薔薇」という

単純な所有のように感じます。
"だけ"というニュアンスは入っていないように感じます。

そうは言っても「only」だの「just」だの入れると、ちょっと
強くというかキツい感じがして、文法と店の名前という所で
迷ってしまいますね。

あまり答えになってなくてすいません。