0^0（ゼロのゼロ乗）について

複素数まで拡張されたa^bの定義

a^b = exp(b×log(a))
をもとに考えてみてはどうでしょうか。
a,bが共に0のとき、b×log(a)は0×（-∞)で不定なので
0^0は定義できない、という理解の仕方が自然なのかなと思います。

以前数セミでxのx上についての連載がありました。

今は書籍にもなっています(ISBN: 453560844X)。
x^xでlimx→0としていったとき、
1となるのか、0なのか
あるいは中間を取って1/2なのか？
面白く納得できる説明が載せられていたことを記憶しています。

機会がありましたら、見てみられてもよいかもしれません。。

以下、私の理解ですが、
a^bのbはマイナスにも"拡張"されます

3^3=27 3^2=9 3^1=3

という列があったとき、27→9→3と
3で"割って"いってますね。
ということはさらに列を進めていくと
27→9→3→1→1/3→1/9・・
となっていくわけです。
ですからa^bでb=0の場合(a!=0)、
a/aで何でもa^0=1となります。

#1さん言われるように
a^0=a÷a=1ということができるわけです。

a^0(a!=0)は法則から導かれた結果"定義"されたもので
a=0の場合は、a^0=a÷a=1を考えると定義できない
ということですね。

もっといい説明もできるとは思うのですが。。

はい、定義されません。

簡単に言うと「a^0=a÷a=1」なんです。
しかし数学では「÷0はしては定義されない」という大前提があるため、「0^0=0÷0→定義できない」となります。