無限と有限について

(長文です)

だんだん本格的な話になってきましたねー。
atsuotaさんの
> 有限の大きさ：ある数Ｎに対してそれより大きな数Ｍが存在する。
> 無限大：有限でない大きさの数。もうそれ以上に大きい数はない、という数。
>０に無限に近い正の値（無限小としましょう。正式な呼び方は知りません。）
あたりは、ちょっと質問者を混乱させそうかな？

そこで数における有限・無限の話を少しやりませう。
●「x: もうそれ以上に大きい数はない、という数」はありません。それは数ではないんです。（もし数だったら、(x+1)は無限大より大きいはずですよね。）
「y:もうそれ以上0に近い正の数はない、という数」というのもありません。それは数ではない。（もしyが数ならy÷2はもっと０に近い正の値ですからね。）
従って、atuotaさんのおっしゃる無限大、無限小はどちらも数ではありません。

●無限を考える場合には、「もののかずを表す数（基数。one, two, three...）」と、「順番を表す数（序数。first, second, third,....）」を区別しなくちゃならないんです。

●まず基数の話。
　1,2,3,...... という自然数が全部で幾つあるか、というのを「可算無限個」と呼びます。しかし、無限大、という「数」（基数）はありません。「無限個」という時の「無限」は数ではないんです。（「無限大」というのは、とりあえず「無限個」の意味だと考えてください。）
　自然数が全部で可算無限個ある訳ですが、じゃあ偶数は全部で「可算無限個の半分」だけあるのか、というと、そうではない。偶数は全部で可算無限個あるんです。（え??　でしょ。がんばって続きを読んでください。）
　あるものの集まりの要素の個数を数えるというのは、集合の要素に自然数を小さい順に1:1に対応させていく、という操作です。みかんを数える場合に、「1, 2, 3,..」と言いながらみかんを指さすのがこの操作です。偶数の個数を数える場合には{2, 4, 6,....} というものに{1,2,3,...}を対応付ける。つまり偶数kに対して自然数 (k÷２)を対応させれば、ちょうど偶数全部に自然数全部が対応します。だから、「偶数は自然数と同じ数だけある。」
　同様に、「10以上の自然数m」の個数も自然数と同じ数だけある。（今度はmに自然数m-9を対応させれば良いですね。）
　このように、無限個のものの集まり（無限集合）は、その中から無限個の要素を選び出した部分集合を作ったときに、もとの集まりと同じ個数を含むことがある。有限個のものの集まり（有限集合）の場合には、こんなことは絶対に起こりません。つまり、この性質が無限と有限の決定的な違いです。

●次に序数の話。
　「無限大」であるような序数が幾らでもあります。（専門用語では「超限順序数」と言います。）
　矢印->で強弱関係を表すことにして、「->の左にあるものは右にあるものより強い」と考えます。（強い、というのは別にどういう言い方でも良いんですが、要するに [もしx->yかつy->zであるならx->zである]ということが成り立つような関係、ということです）
　たとえば　1->2->3->4->....　という列の10番目の要素というのは10番目に強い、ということですね。
　今度は「どんな奇数も、あらゆる偶数より強い」というルールを追加します。すると
1->3->5->.... ->2->4->6->.....
ということになる。3は「２番目に強い」訳ですが、じゃあ2は何番目に強いか。これを
「ω+1番目」と言います。(ωはオメガと読みます。)
（順番を決めたことによって初めて序数というものが意味を持つんです。同じ列1->3->5->.... ->2->4->6->..... の要素の個数はいくらか（基数。順番は気にしない）と言えば、もちろん可算無限個です。）
　さてωは一番小さい「無限序数（超限順序数）」であり、その次がω+1です。その次は「ω+2番目」次は「ω+3番目」.....
(ω+ω)番目を2ωと言います。その次は「2ω+1番目」....そして3ω,3ω+1, ..... 4ω,...
ωω番目をω^2(ωの二乗)と言います。.....ω^3+1,.....ω^4,......ω^ω, ...... ω^(ω+1),.....,ω^(ω^ω),.......
この列は終わりません。「無限序数」自体が無限にあって、その間にはちゃんと大小関係があるわけです。

＊ここから後は、質問者は飛ばした方が混乱しないかな。
●幾何学では「無限遠点」というものが出てきます。これはただ一つある点です。
平面の上に球を置くと１点で接触します。これを球の南極点とするとき、球のてっぺんにある北極点から平面へ勝手な直線をひく。すると、直線は平面上の１点と球面上の１点とを結びます。こうして平面上の点と球面上の点とを１：１に対応付けることが出来る。しかし、球の北極点だけが余りますよね。これが無限遠点です。
　たとえば平面上に勝手に直線を１本描く。そして直線上の全ての点を球面上の点に写しますと、球面上では必ず球の北極点を通る閉曲線になります。「どんな直線も無限遠点を通る」ということですね。

●無限小数：「無限小」の数、ではなく、「無限に続く小数」の話です。
1/7 = 0.142857142857142857.....
これは小数点以下無限に続くんですが、7桁ごとに同じパターンを繰り返します。
π = 3.14159265358979323.....
これも小数点以下無限に続くんですが、繰り返しがありません。
　同じパターンを繰り返す小数（循環小数）は、必ず有理数で表せます。逆に、分数で書ける数（有理数）はどれでも、小数にすると同じパターンを繰り返します。だから、１周期分計算してしまえば、あとは計算しなくても分かる。「有限時間で完全に答が出せる」訳です。
　有理数で表せない小数は、繰り返しがありません（無限小数）。しかしπは小数点以下何桁でも好きなだけ計算することができ、「そのプログラムは有限の長さで書けます」。
　これらに対し、値を求めるためのプログラムが書けないような小数も、存在しなくてはならないことが証明できます。このような小数（値はもちろん、どうやって求めるかも分からない数）は、いわば本当に「無限的」な「無限小数」ですね。

●「超準解析」という数学では、数の仲間に、普通の数のほかに無限大や無限小を含めて「拡大された数」である「数’」を考える。
　この場合にも、「無限大」という１個の数’がある訳ではありません。そうではなく、まさしく無限個の数’が「無限大」という性質を持っている。また別の無限個の数’が「無限小」という性質を持っている。そしてまた別の無限個の数’が「有限」という性質を持っている。また、無限大である数’同士の間にも大小関係があり、足したり掛けたり計算もできます。
　余り正確ではないが、数’というのは、直感的には超限順序数の概念を有理数・実数に拡張したような感じです。

まずは日常的なレベルでは、ほぼ無限＝無限大と考えてよいと思います。

「数える（測る）ことができる」：有限
「数える（測る）ことができない。いくらでもある」：無限
（数えるのが面倒とかいうのは無しですよ ^^;）
といった感覚ですね。
別の言い方だと
「切りがある」：有限
「切りがない」：無限
でしょうか。（というか、言葉どおり、「限りなし」「限り有り」でいいですね。まさか「限り」の意味が知りたいわけではないですよね？）
例：
「君の未来の可能性は無限だ」（君の未来に何が起こるか、その可能性の種類はいくらでもあり、数えることができない。）
「人間の欲望は無限だ」（人間の欲望の種類は、数え上げたら切りがない。）

数学では無限大（正負とも）、ある数に無限に近い値、などを使います。（以下の定義、間違っておりましたらご訂正くださいませ。＞数学専門家さま）
定義は下のgomazyさんのは逆だと思うのですが、
有限の大きさ：ある数Ｎに対してそれより大きな数Ｍが存在する。
無限大：有限でない大きさの数。もうそれ以上に大きい数はない、という数。
ですね。ある数に無限に近い値は、まず０に無限に近い正の値（無限小としましょう。正式な呼び方は知りません。）を定義する必要があります。
無限小とは、
１．それ自身は０でない
２．それより小さな正の数が存在しない
数のことです。
で、ある数Ｎに無限に近い値Ｍは、その数Ｎと今考えている数Ｍの差の絶対値が無限小であるような数のことです。
（だんだんわけがわからなくなってきました。）

物理では、例えば古典力学などで、「無限遠」という考え方を使います。
無限遠：ずーっと遠く（笑）地面を数直線（または平面）で置き換えて考えたとき、ある点からの距離が（数学的に）無限になるところ。

それ以外の学問では知りません。化学とか生物学とか、その他理系の学問で、はたして無限って使うのでしょうか？
とりあえず想像できないので、それはその専門の方にお任せします。

専門家ではないので的確な回答ではないかもしれませんが、例えば０から１００までの有限の範囲内に存在する数値の数はと言う問いがあるとします。

この問いで何も制限事項がなければ、この答えは無限です。整数で数えるのであれば１０１個ですが、小数点下何桁でも良いというのなら幾らでも数を増やせます。このように有限の範囲の中にも無限が存在します。このような場合はその解が有限の値になるか無限の値になるかは条件次第です。

次に下限が存在し上限が存在しないものとしては、温度があります。ご存知かと思いますが、温度には絶対零度というものが存在しそれ以下にはいかなる方法をもっても下げられないというものです。これは温度と言う物が物質の構成要素の運動エネルギー（厳密には異なります）に由来するからで、物質を構成する分子などが完全に止まってしまえばそれ以下はないわけです。温度に関して上限はエネルギーを与え続ける限り上げ続けることができるの論理上は無限です。

その逆もあるとは思うのですが、如何せん素人なので思い付きません。

私の勝手な解釈です。

有限->読んで字の如く限りのあるもの
例えば動物の寿命。一生など。必ず終わりが訪れます。

無限->限りのないもの
数学でいう漸近線など。計算上何処までも続きます。

どうでしょうか?

gomazyさんの回答は実に本質を突いていると思います。

蛇足ながら、
1,2,3...という自然数で番号をふっていくと、いつか番号を付け終わる、というのが有限。終わらないのが無限。
無限の中にも、自然数と1:1の対応づけができる「可算無限」と、それよりも「多い」無限である「非可算無限」が区別されます。

数学では、無限というのは、あなたがある大きな数を思い浮かべても、それよりも大きな数が存在する状態を言います。

有限というのは、あなたが思い浮かべた数よりも大きな数が存在しない状態と定義しています。禅問答みたいですが、参考になれば。