退職させてくれない場合は・・・

法的に言えば、労働者には職業選択の自由（憲法２２条）がありますし、労働基準法でも「使用者は、暴行、脅迫、監禁その他精神又は身体の自由を不当に拘束する手段によつて、労働者の意思に反して労働を強制してはならない。

」（労働基準法５条）とされています。
ですから、辞めることは可能と思います。（労働基準法５条は労働基準法中、最も重い罰則：労働基準法１１７条　１年以上１０年以下」の懲役又は２０万円以上１００万円以下の罰金）
退職の手続きや時期などは、労働契約の内容により異なります。
期限の定めのない契約の場合、民法６２７条の規定により、労働契約解除の意思表示後２週間経過に効力が発生します。（退職届の提出等のあと、２週間経てば、許可や承認が不要で、辞めることができます。）
これに対し、期限の定めのある契約の場合は、原則としてその契約期間中は契約の解除はできません。ただし、「やむを得ない事由」がある場合は、民法６２８条の規定により契約解除ができます。このとき、解除した側に過失があれば損害賠償責任が生じます。
（実際に、会社から損害賠償請求されても、労働者が応じない場合は裁判等が必要となり、労働契約の解除と具体的損害との間の相当因果関係を会社側が立証しなければならず、裁判上認められたものは１例のみと言われており、裁判の費用・時間的負担等もあり、本当に会社が裁判覚悟で請求するかはわかりません。）
契約書や就業規則等の定め、面接時に退職の申し出時期（１ヶ月前等）があれば、それに従うのが原則です。
民法の規定はあっても、就業規則等で特約として退職の申し出の期間があれば、その期間が適用されることになると思います。
ただし、判例では「勤続４年以上の者は退職希望日の３ヶ月前までに退職届を提出する」という就業規則の効力をめぐって争われた事件について、退職３ヶ月前までに退職届の提出を義務づける規定は、退職の自由に反し無効と判示しています（プラスエンジニアリング事件　東京地裁判決　平13．9．10）。」というものもあります。
http://www.ibarakiroudoukyoku.go.jp/soumu/qa/tai …（参考ＵＲＬ）

可能であれば、上記の判例（参考ＵＲＬは労働局のものです。）等説明し、学校（会社）と話し合い、退職までの期間の短縮してもらって、円満退職を模索されてはいかがでしょうか。（契約の合意解除であれば、合意した日をもって退職できます。）
次の就職先等が決まっていれば問題ないのですが、面接時に提出する履歴書をもとに、面接先が以前の勤務先に問い合わせることがあり（これ自体も問題があることのようですが）、再就職の妨げになることも否定できませんので・・・。

どうしても「後任が決まらなければ退職は認めない」と言われて困る場合は、「退職届（退職願ではなく）」を出す（受け取ってもらえない場合は郵送等）方法もあります。
（後任が見つかるかどうかは学校（会社）の問題であり、tarobaruさんの責任ではなく、期限の定めのない契約の場合は、一方が契約解除の意思表示をすれば許可・承認等は不要で、一定期間（民法では２週間・就業規則等で定めがあればその期間）経過すれば契約は解除されのですから）

また、未取得の年次有給休暇があれば、退職届提出後、一定期間経過するまで、年次有給休暇取得することが可能で、これを認めず、欠勤扱いして給料を減給すれば労働基準法３９条違反となります。（労働基準法違反は労働基準監督署に申告可：労働基準法１０４条）
なお、労働基準法上は、退職後請求すれば、会社は労働者に７日以内に賃金を支払わなければならないことになっています。（労働基準法２３条：請求する必要あり）通常の給料日前に払ってもらうこともできます。（「急に勝手に辞めたので、給料は払わない。」というのは論外で労働基準法違反として労働基準監督署に申告）
ただ、円満に辞めるため、あまり主張することはおすすめできませんが・・・。

http://www.pref.yamagata.jp/sr/roudou/qanda/qa04 …（契約の中途解除）
http://www.work2.pref.hiroshima.jp/docs/1455/C14 …（辞めさせてくれない）
http://www.pref.saitama.lg.jp/A07/BL00/so-dan/ji …（辞めさせてくれない）
http://www.pref.kanagawa.jp/osirase/rosei/soudan …（辞めさせてくれない）
http://www.pref.osaka.jp/osaka-pref/sogorodo/sou …（辞めさせてくれない）
http://www.pref.osaka.jp/osaka-pref/sogorodo/sou …（辞めさせてくれない）
http://www.pref.saitama.lg.jp/A07/BA53/tobu_hp/s …（辞めさせてくれない）
http://www.hataraku.metro.tokyo.jp/sodan/sodansi …（辞めさせてくれない）
http://info.pref.fukui.jp/roui/homepage/content/ …（退職の意思表示と会社の承諾）
http://www.hou-nattoku.com/consult/40.php（退職の意思表示と退職届の受理）
http://www7a.biglobe.ne.jp/~tsudax99/tebiki/tais …（退職）
http://www.ibarakiroudoukyoku.go.jp/soumu/qa/kan …（契約の中途解除と損害賠償）
http://www.jil.go.jp/kikaku-qa/jirei/14-Q07B1.html（契約の中途解除と損害賠償）
http://www.ibarakiroudoukyoku.go.jp/soumu/qa/tai …（契約の中途解除）
http://www.pref.osaka.jp/osaka-pref/sogorodo/sou …（契約の中途解除）http://www.shimaneroudou.go.jp/consult/qanda/q16 …（契約の中途解除）
http://www7a.biglobe.ne.jp/~tsudax99/tebiki/tais …雇用期間の定めのある契約
（契約の中途解除）
http://www.ibarakiroudoukyoku.go.jp/soumu/qa/tim …（退職時の年次有給休暇）
http://www.pref.osaka.jp/osaka-pref/sogorodo/sou …（年次有給休暇）
http://homepage3.nifty.com/sr-abe/rou-toraburu-a …（質問１　退職時の年次有給休暇）
http://info.pref.fukui.jp/roui/homepage/content/ …（退職時の年次有給休暇）
http://www.shizuokarodokyoku.go.jp/qa/jirei02.html（Q5　退職時の年次有給休暇）

http://www.work2.pref.hiroshima.jp/docs/1411/C14 …（退職時の賃金）
http://www.hou-nattoku.com/shokuba/taisyoku4.php（退職時の賃金）

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=1772560（参考となる類似質問）
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=1807855（参考となる類似質問）

http://www.pref.kanagawa.jp/osirase/rosei/soudan …（２ページ　解雇・退職の類型）
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=1932190（前職の問い合わせ）

http://law.e-gov.go.jp/cgi-bin/idxselect.cgi?IDX …（労働基準法）
http://law.e-gov.go.jp/cgi-bin/idxselect.cgi?IDX …（憲法）
http://law.e-gov.go.jp/cgi-bin/idxselect.cgi?IDX …（民法）
（長文ですみません。）

後任の心配をするのはあなたの責任ではありませんから、あまり気にする必要はありません。

まして、2ヶ月近く期間があったのですからなおさらです。
就業規則は、法的根拠のないものは、無効か、単なるお願い規定にしか過ぎず、それを厳密に守る義務はありません。

はっきり、3月末にどうしても辞めますと通告しておいて下さい。
退職届のコピーに受け取りサインでももらっておけば充分だと思います。
有休が残っているなら消化の予定も早めに申告して下さい。

最悪の場合は、辞めたあと残りの給料が振り込まれない事が懸念されますが、こればかりは、実際に未払いにならないと動きようはありません。