納得のいかない確立問題

Question

某スレで出てた問題の事で質問です。

「昔の某大学の入試問題で

ジョーカーを除いたトランプ５２枚の中から１枚のカードを抜き出し、表を見ないで箱の中にしまった。
そして、残りのカードをよく切ってから３枚抜き出したところ、３枚ともダイアであった。

このとき、箱の中のカードがダイヤである確率はいくらか。」


答えは4分の1だったらしいのですが、どう考えても49分の1としか思えません。

スレでの意見としては、最初にカードを引いた時点では4分の1で、その後何をしようと関係ないから4分の1だという意見が多かったのですが・・・

実際問題、3枚ダイアがでてからの箱の中のトランプの絵柄の確立なんですから・・・
数学とかは全くわかりませんが、現実世界で賭けをするとして最後に4枚引いて全部ダイアだったら、「箱の中のトランプはダイアか？」と聞かれたら「NO」に有り金全部賭けますよね？4分の１だから大金は賭けないと言う人はいないのでは・・・

springside · Accepted Answer

>>元記事では答えは4分の1だと書かれていたのですが・・・元記事が間違っていることを期待しています

その通りで、元記事が間違っています。

>>現実の現象が数学での考えた際に違う事があるのか？

それは、「ない」です。現実の現象をモデル化したのが数学なので。

余計混乱させてしまうかもしれませんが、同じような「条件付き確率」の質問＆回答（というより議論？）が、
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=1332810
にありますので見てみてください。

参考URL：http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=1332810

shiritai · Answer

49分の10で間違いありませんが、4分の1でない
ことは、下記のように考えれば明らかです

質問文では3枚を後から選んだとありますが、これが
13枚選んで全部ダイアだったら・・・

と考えれば明らかに最初の1枚目はダイアではありません
ので確率は0です。つまり4分の1ではありません。

Flak45 · Answer

＃1です。

了解しました。

質問者のご紹介の大学入試問題は、正解が別にあった不適切な例として、結構有名な話なんですね。

以前、似たようなパラドックスがあってそれと同種のものかと思い、回答しましたが、不適切であったようです。

お騒がせしました。
大変勉強になりました＞正解を寄せた回答者の方々。

syuwatch · Answer

なんだか回答のタイミングがずれてしまって
ご迷惑をおかけしてる気がしますが、
私が最初にこの問題を拝見したときには、
非常に分かりにくい・・・
この問題自体が説明不足な気がします。
なんとも、理解が難しいというか、
確率はそんなに苦手ではなかったのですが、
これでは解けない。という感想でした。
ただ、答えが4分の1となっていたということでしたので、
それにつじつまを合わせてみました＾＾；

kaza01 · Answer

スレでこう聞いてみて下さい。

「その後カードを引き続けて、スペード１３枚、クローバー１３枚、ハート１２枚、ダイア１２枚を引きました。　箱の中のカードがダイアである確率は？」

syuwatch · Answer

すいません、私もちょっと補足・・・
まず５２枚から１枚引いた後、
引いた図柄がなんだか分からないので、
残っているトランプについて、
次にダイヤをひく確率は
まず、最初に引いたのがダイヤだった場合は
12/51、ダイヤではなかったときは13/51のように
トランプの中にダイヤが残ります。
12/51になる場合は最初13/52がダイヤであるので、
12/51×13/52、
13/51になる場合は、39/52のダイヤ以外を引いた場合なので、13/51×39/52となります。したがって、
12/51×13/52＋13/51×39/52が2枚目にダイヤを引く確率になります。計算すると4分の1になります。

i-q · Answer

＞＞どう考えても49分の1としか思えません。
私も質問文を読んだとき”1/49だ”と思いましたが、数学云々ではなくただの読解力+常識？問題なのでは？トランプってジョーカー除けばスペード・ダイヤ・クローバー・ハートの四種類しかないので。問題をよく読まないで52枚（4種*13）＝52種類と勘違いしちゃうと、1/49だと思わせる引っ掛け問題のような気がします。
　厳密に言えば1/4じゃない気もしますが、だってダイヤは他の絵柄（13枚）より3枚少ない10枚しかないのだから・・・。

参考URL：http://okwave.jp/kotaeru.php3?q=1966487

springside · Answer

No.5です。補足です。

答えは1/4ではなく10/49ですが、そもそも、

>>スレでの意見としては、最初にカードを引いた時点では4分の1で、その後何をしようと関係ないから4分の1だ

という主張が誤りです。

もし、「残りのカードをよく切ってから３枚抜き出したところ、３枚ともダイアであった。」という情報がないのであれば1/4なのですが、上記の情報があるため確率が変わるのです。

常識的に考えて、「残りのカードをよく切ってから３枚抜き出したところ、３枚ともダイアであった。」という情報があるにもかかわらず、それがない場合と確率が同じというのは変ですよね。

eatern27 · Answer

4分の1ではありませんが、49分の1でもないですね。(49分の1は誤植のような気がしますが^^;)

残り49枚のうち、10枚がダイヤなので、最初に引いたカードがダイヤである確率は10/49ですね。
(もちろん、故意に３枚のダイヤを選んだのなら、1/4のままです)


確かに、最初に引いた時点では、4分の1で、その後に何をしようが、そのカードは変わらないですが、
カードを引いた後に起こった事象が、引いたカードを推定する手段に使えない事はありません。

この場合、
引いたカード「ダイヤ」であると、(そうでない場合よりも)起こりにくい事象が起こったので、最初に引いたカードがダイヤであると考えるより、そうではない、と考える方が自然ですよね。
だから、「ダイヤ」である確率は下がります。
どのくらい下がるかをちゃんと計算すると、10/49になります。

原因から結果を推定する、「ベイズ推定」とか「ベイズの定理」などと呼ばれているものの類ですね。

springside · Answer

いわゆる「条件付き確率」の問題ですね。
こんな風になりませんか。

「箱の中のカード（つまり１枚目に引いたカード）がダイアである」という事象をＡとします。
「２枚目、３枚目、４枚目に引いたカードが全てダイアである」という事象をＢとします。

今、求めたいのは、「Ｂという事象が発生したという条件の下でのＡという事象が発生する確率」です。

これは、条件付き確率の公式により、
　Ｐ（Ｂ∩Ａ）／Ｐ（Ｂ）　　※
で求められます。

(1)Ｐ（Ｂ∩Ａ）について
Ｐ（Ｂ∩Ａ）
＝Ｐ（Ａ∩Ｂ）
＝(13/52)*(12/51)*(11/50)*(10/49)
です。

(2)Ｐ（Ｂ）について
１枚目がダイアであったか否かで分類し、
Ｐ（Ｂ）＝(13/52)*(12/51)*(11/50)*(10/49) + (39/52)*(13/51)*(12/50)*(11/49)
です。

※＝(1)／(2)なので、約分すると、10/49となり、これが答えです。

納得のいかない確立問題

>>元記事では答えは4分の1だと書かれていたのですが・・・元記事が間違っていることを期待しています

この回答への補足

49分の10で間違いありませんが、4分の1でない

この回答への補足

＃1です。

この回答への補足

なんだか回答のタイミングがずれてしまって

この回答への補足

スレでこう聞いてみて下さい。

この回答への補足

すいません、私もちょっと補足・・・

この回答への補足

＞＞どう考えても49分の1としか思えません。

この回答への補足

No.5です。

この回答への補足

4分の1ではありませんが、49分の1でもないですね。

この回答への補足

いわゆる「条件付き確率」の問題ですね。

この回答への補足

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