チャイコフスキー、ドストエフスキーのスキーの意味は

ドストエフスキー、チャイコフスキー、ムソルグスキー等の人名につくスキー（-ский）は形容詞語尾です。

日本語では「～の」に当たります。

例えば、ドストエフスキー（Достоевский ）は“Достойно есть”という名のイコン（聖像画）から来ています（キリストと聖母を題材にしたイコンです）。
http://www.days.ru/Life/life1285.htm

チャイコフスキー（Чайковский）はもともとはЧайка（地名。本来の意味はかもめ）からきた人という意味です。

ムソルグスキー（Мусоргский）はギリシャ語で「歌手、音楽家」を意味するМусургос（Musurgos）から来たという説があります。

他にもロシア系に多い姓で「-ов(-ев)オフ（エフ）」や「-ин(イン)」などがありますが、これも形容詞語尾（物主形容詞）です。
例えば、ゴルバチョフ（Горбачёв）はгорбач（猫背）から、プーシキン（Пушкин）はпушка（大砲）から来ています。

またこれに関連する質問で、以前「～チェンコ」という姓の由来についても答えたことがあるので、よろしければ参考にしてください。
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=1711986

＃2さんのおっしゃるとおりです。

語源的には 英語の
-ish、ドイツ語の-ischと関係あるかもしれません。

そういえば何ででしょう。

考えてみると面白いですね。ドストエフスキーは我が人生の師でもあるので。

調べてみると、以下のようなサイトを発見しました。どうやら、性別による姓名の語尾変化、だそうです。
http://quartetto.chu.jp/talk/trivia/rosianame.htm

余談ですが、ソーニャ、ドゥーネチカ、ターニャ…ロシア語の女性への愛称も素敵ですね。私は好きです。