No.3ベストアンサー
- 回答日時:
また、間違いました、被積分関数をMaclauin展開してください。
ご存知と思いますが、一応公式を書いておきます。
マクローリン展開(テイラー展開)は
f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2*x^2+f'''(0)/3!*x^3+...
です。
+と-を間違えていたようです。
(1+x)^1/2=1+x/2-(x^2)*(1*1)/(2*4)+(x^3)*(1*3)/(2*4*6)-.....
1/(1+x)^1/2=1-x/2+(x^2)*(1*3)/(2*4)-.....
x=-(ksinφ)^2を代入して、各項積分です。
もう!自信なしです。
m(__)m
No.5
- 回答日時:
> 積分さえできれば後は代入するだけですよね?
> 積分の解を算出して頂けないでしょうか?
No.4 の回答に書きましたように,
初等関数(の組み合わせ)では楕円積分は表現できません(k=0,1 の場合を除く).
もちろん,a,b,c が決まれば k とαは確定して楕円積分の値も確定,
表面積も決まります
しかし,その楕円積分の値とk,αの関数関係が初等関数の組み合わせでは
表現できないと言うことなのです.
なお,0≦α≦2 と書かれていますが
a≧b≧c で α=sin^{-1}√(1-c^2/a^2) ですから
0≦α≦π/2 ですね.
ミスプリかも知れませんが,念のため.
No.4
- 回答日時:
> 回転楕円体の表面積の公式に使われているものです。
回転楕円体の表面積ならこの楕円積分は k=1 の場合になりますので,
簡単な積分に帰着されます
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=191215
の私の回答(No.4),および Qtaro35 さん(No.3)ご紹介の
http://www.asahi-net.or.jp/~jb2y-bk/math/daenmen …
をご覧下さい.
一般の楕円体の表面積なら k≠1 の楕円積分が現れます.
積分範囲がφ=0 からφ=θまでのとき,楕円積分(結果は k とθの関数),
積分範囲がφ=0 からφ=π/2までのとき,完全楕円積分(結果は k の関数),
と称しています.
後者の場合を単に楕円積分という場合もあるようです.
brogie さんの
> 0~1/πまでの定積分の場合、
はミスタイプでしょう.
第1種,第2種の区別は brogie さんの書かれているとおり.
完全楕円積分でも,k=0,1 以外の場合は初等関数で表現できないことが
知られています.
この回答への補足
実は以下のURLを参考に、一般の楕円体の公式を見て、解が知りたくて質問させて頂いたのです。
URL:http://www.asahi-net.or.jp/~jb2y-bk/math/daenmen …
その公式の中のk^2とαについては算出してあり、k^2<1と0≦α≦2となりました。積分さえできれば後は代入するだけですよね?
甘え過ぎだということは十分承知しているのですが…、積分の解を算出して頂けないでしょうか?
よろしくお願いします。
No.2
- 回答日時:
御免なさい、間違いました。
つぎの式が正しいです。(1-x)^1/2=1+x/2-(x^2)*(1*1)/(2*4)+(x^3)*(1*3)/(2*4*6)-.....
1/(1-x)^1/2=1-x/2+(x^2)*(1*3)/(2*4)-.....
この式のxに(ksinφ)^2を代入して、各項別に積分して下さい。
上の式は1を除いて、Σを用いて書くことも出来ます。
No.1
- 回答日時:
おはよう御座います。
級数に展開して、積分するのですが、0~1/πまでの定積分の場合、楕円積分になります。ただし、k^2<1。(1)を第2種完全楕円積分、(2)を第1種完全楕円積分です。
被積分関数の展開は、つぎの式を使うと良い。
(1+x^2)^1/2=1+x/2-(x^2)*(1*1)/(2*4)+(x^3)*(1*3)/(2*4*6)-.....
1/(1+x^2)^1/2=1-x/2+(x^2)*(1*3)/(2*4)-.....
これをそれぞれ積分すると良いでしょう。
この回答への補足
おはようございます。
確かにこの積分式は、回転楕円体の表面積の公式に使われているものです。
ところで、回答頂いた式には sin^2(φ)がありませんが、使わなくてもよいのでしょうか?
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