極座標表示

模範解答と計算が合わないのです・・・。
比較してみて下さい。

３次元ポテンシャルと極座標表示の分野で、
シュレーディンガー方程式に使う為の変換です。

△(x、y、z)＝(∂^2/∂ｘ^2)＋(∂^2/∂ｙ^2)＋(∂^2/∂ｚ^2)
という式を
ｘ＝ｒsinθcosψ、ｙ＝ｒsinθsinψ、ｚ＝ｒcosθ
の変数変換をする。
∂/∂ｘ＝(∂ｒ/∂ｘ)(∂/∂ｒ)＋(∂θ/∂ｘ)(∂/∂θ)＋(∂ψ/∂ｘ)(∂/∂ψ)
∂/∂ｙ＝(∂ｒ/∂ｙ)(∂/∂ｒ)＋(∂θ/∂ｙ)(∂/∂θ)＋(∂ψ/∂ｙ)(∂/∂ψ)
∂/∂ｚ＝(∂ｒ/∂ｚ)(∂/∂ｒ)＋(∂θ/∂ｚ)(∂/∂θ)＋(∂ψ/∂ｚ)(∂/∂ψ)
と表され、
ｒ＝√(ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2)、tanθ＝｛√(ｘ^2＋ｙ^2)｝/ｚ、tanψ＝ｙ/ｘ
の関係から各係数を計算して
(∂ｒ/∂x)＝ｘ/ｒ＝sinθcosψ、(∂r/∂y)＝ｙ/ｒ＝sinθsinψ、(∂r/∂z)＝ｚ/ｒ＝cosθ
(∂θ/∂x)＝cosθcosψ/ｒ、(∂θ/∂ｙ)＝cosθsinψ/ｒ、(∂θ/∂ｚ)＝－sinθ/ｒ
(∂ψ/∂x)＝－sinψ/ｒsinθ、(∂ψ/∂ｙ)＝cosψ/ｒsinθ、(∂ψ/∂ｚ)＝０
となるので、これをずーっと計算すると
△(r、θ、ψ)＝(∂^2/∂ｘ^2)＋(∂^2/∂ｙ^2)＋(∂^2/∂ｚ^2)
　　　　　 ＝（１/ｒ^2)(∂/∂r)(ｒ^2・∂/∂r)
　　　　　　＋(１/ｒ^2sinθ)(∂/∂θ)(sinθ∂/∂θ)
　　　　　　＋(１/ｒ^2sin^2θ)(∂^2/∂ψ^2)　　　　　　　―――(1)

となるそうなのですが、
私がちまちま計算しましたところ、

△(r、θ、ψ)＝(∂^2/∂ｒ^2)＋(１/ｒ^2)(∂^2/∂θ^2)＋(１/ｒ^2sin^2θ)(∂^2/∂ψ^2)

という形になりました。
同じようで、微妙に違うのですが
これはどういうことなのでしょうか？
そのまま(1)式に拡張して良いのか、
計算が途中で間違えたのか、如何でしょう。