複素数について

最初に回答したfrankです

atsuotaさんに
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> 我々の空間と異なった虚数空間にある数である。
とありますが、私にはこの意味がよくわかりません。
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と書かれてしまいましたが、わかりにくい表現であったことをお詫びします

「我々のいる空間を実数の空間とすると、虚数の空間というものがどこかに存在し、そこにある数を虚数と呼ぶ」
と言いたかったのです
ただし、この表現は私個人の解釈であり、間違っている可能性があるので無視していただいてもかまいません

質問者のために。

　勿論、質問者の仰る「存在意義」とは「虚数が実在するか、そしてその意義は？」という意味ではなく、「虚数という概念の存在意義」でしょう。

　数学を利用するときには、必ず「現実世界の問題をあるルールに従って数学の世界に写し、そこで出た答を、同じルールで元の現実世界に引き戻す（これを「解釈」と呼ぶこともあります）」ということが必要です。
　「りんごが２つあります。ひとつ食べたら残りは幾つでしょう。」というのを、数学の世界の「2-1」に写し、そして答の1を現実の世界の「りんごひとつ」と解釈する。普通にやっていることですね。
　難しい問題（物理、経済、なんでも）を解くときには、どうやって数学の世界に写すかが最大の難関であり、そのルールさえ見つけてしまえばあとは簡単、ということがしばしばあります。図形の問題（学校の幾何）でもそういうことがあるでしょう？ルールは必ずしも一通りではないのです。
　さて、二次元空間のひとつの点の座標を、「ふたつの実数x,yがある」というルールで数学の世界に写しても、「二つの要素を持つひとつのベクトル(x,y)」として扱っても良いのですが、「z=x+iyというひとつの複素数」というルールで写すこともできる。こうして問題を数学の世界に移すのです。そして、いろいろ計算して出た答が Z=X+iY だったとします。これを今度は「答の位置は(X,Y)である」と解釈して、二次元空間の世界に引き戻してやるのです。
　かくして、「虚数（あるいは複素数）を使うと、数学の世界の中で大変効率よく答を出すことが出来る。また数学自体の仕組みの完全さ（完備化）という意味でも、虚数は不可欠である。」こういうことです。

atsuotaさんてば、そこまで格調高い議論に突入しますか^o^

虚数にまつわる俗流神秘論が流行したのは、１００年以上前のことではなかったでしょうか。未だに似たような議論があることに驚いてコメントをしました。
また「我々のいる空間は、古典力学の範囲では数学的な３次元実空間（実数の空間）で記述できる」というのには首肯しますが、逆は言えない。つまり実数の世界で可能なことが、我々の居る空間では必ずしも可能ではない、という点を指摘しておきます。
*質問者を放り出して勝手に議論してます。いけませんね-

参考URL：http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=18946

まず、ごめんなさい。

直接的にはyabunakaさんの質問と関係はありません。（間接的にはありますよ！）
ただ、下のstomachmanさんのアドバイスが気になったので、ちょっと質問、というか意見。（新しい質問にしようかとも思ったのですが、ここに書いたほうがわかりやすいかと思いまして。）

> 我々の居る空間が実数の空間である、というのはどうも違うようです。
でしょうね。でもどうもニュアンスが違う気がしたので、物理をかじった人間として書かせていただくと、
「我々のいる空間（物理的な空間です。）は、（少なくとも古典力学の範囲では）数学的な３次元実空間（実数の空間）で記述できる」
と言って欲しいです。（私より専門家で「いや違う」と言う方はフォローしてください。）
もともと、数学は物理、すなわち現実の物理的空間における様々な問題を記述する「道具」として存在していました。（初等幾何しかり、基礎解析しかりです。アルキメデスもガリレオもニュートンも偉大なる物理学者であると同時に偉大なる数学者でした。）
下のstomachmanさんの書き方ですと、ひょっとすると、「そうか、数学と現実（物理）は全然別物なんだ（※）」と勘違いする方がおられるかと思います。
（※）もちろん、学問としての「数学」と「物理」は根っこは同じでも、現代ではもはや全然別の学問です。

それから、
> また、虚数は何か実在しない物、神秘的な物であるかのように言うのも変です。
これは完全に揚げ足とりですが、
「実在」とは「概念ではなく、物理的なものとして、人間が知覚可能な存在」ではないのでしょうか？（量子力学的な観測論などつつきはじめるときりがないので、そこはご容赦を。）
だとすると、そもそも「数」は概念であって、「実在」ではないと思いますが？

我々の居る空間が実数の空間である、というのはどうも違うようです。

また、虚数は何か実在しない物、神秘的な物であるかのように言うのも変です。
実数も虚数も同じように、現実とは微妙に違いますし(mori0309さんの質問をご参照下さい）、比較的簡単な関数はグラフに描ける,という点ではどちらも同じ。

複素数の存在意義を一言で言えば計算を楽にすることです。

虚数なんて実在のものではありませんから、なくても現実の問題は解決できます。でも複素数を使えば複雑な問題を簡単に解ける場合があります。
波を扱う人はこれがないと大変でしょう。
ここでいう波とは、交流電気，音，振動などです。

●計算の規則が例外なく成り立つように数の仲間を拡大していくことを「完備化」と言います。

・自然数 0,1,2,3.....の世界で引き算を考えると、3-4はできません。そこで-1,-2,....というのを数の仲間に入れると、どんなときでも引き算ができるようになります。これが整数です。
整数の世界でわり算をやると、3÷4ができません。そこで 3/4というのを数の仲間に入れると、これで(分母が0でない限り）いつでもわり算が出来るようになります。これが有理数です。
有理数の世界ではx^2 = 2は解けません。その答=√2だとか、πだとか、有理数で表せない数、つまり循環しない無限小数も仲間にいれることで、実数ができます。
・実数の世界でn次方程式を考えます。
2x - 1 = 0
3x^2 + x + 5 = 0
というようなやつです。　すると、n次方程式は最大n個の解がありますが、0個（解けない）かもしれない。1個かも知れない。ここで複素数 (a + i b) （a,bは実数, i=√(-1)）を数の仲間に入れると、n次方程式はいつでも必ずちょうどn個の解をもつようになります。例えばx^4-1 = 0の解は1と-1とiと-iです。四則演算をどんな風に組み合わせても、複素数の世界でなら「できません」ということはない。そういう意味で、複素数は完備化されている訳です。

●実用上の重要性として、一番活用されているのは、「複素数を考えると指数関数と三角関数が本質的には同じ物になる」という事でしょう。つまり
exp(a+ib) = exp(a) (cos(b) + i sin(b))
です。同じ事を次のように表すこともできます。
cos(b) = (exp(ib)+exp(-ib))/2
sin(b) = -i(exp(ib)-exp(-ib))/2
この公式のおかげで、回転（三角関数で表される）を非常に簡単に扱えるようになります。たとえば加法定理なんて憶えなくても、
exp(i(x+y)) = cos(x+y) + i sin(x+y)
であり、また
exp(i(x+y)) = exp(ix) exp(iy)
= (cos(x) + i sin(x) )(cos(y) + i sin(y))
= cos(x)cos(y) + i sin(x)cos(y)+ i sin(x) cos(y) - sin(x)sin(y)
= (cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)) + i (sin(x)cos(y)+ sin(x) cos(y) )
だから
cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)
sin(x+y) = sin(x)cos(y)+ sin(x) cos(y)
となります。つまり単に指数の法則
exp(p+q) = exp(p) exp(q)
だけ知っていれば十分というわけです。ものの回転=周波数を扱うような場合にはとても便利なので、電気工学・機械工学などでは真っ先に必要になります。
●なお、専門的な分野でしか使われませんが、(a+i b + k c + l d) 四元数（しげんすう）、や八元数なんてのもあります。これまた回転と関連して、計算を易しくするという効能があるものです。

下の方の回答どおり、虚数単位iを導入することで２次方程式の解が必ず表現できるようになったのが、もともとだったと記憶しています。

（虚数がない場合、２次方程式の解が「２つの実数」「１つの実数」「解なし」のパターンにわかれるのはご存知かと思います。虚数の導入により、「１つの実数」を「２つの実数解の重なったもの」と理解すると、必ず「２つの解（実数を含む複素数）」で表現できます。）

複素数はその他にも、数学や物理学の分野で、さまざまな問題を考えるさいに利用されています。特に最近の物理の分野では複素数なしでは話しになりません。
例えば一番有名なのは、量子力学の基礎方程式にシュレディンガー方程式というのがありますが、これは複素数方程式です。

余談ですが、下のfrankさんの回答で
> 我々の空間と異なった虚数空間にある数である。
とありますが、私にはこの意味がよくわかりません。
数学的な意味での空間と、私達が日常生活で空間と呼ぶものは基本的に別の概念だと思います。
（ＳＦなんかではよくごちゃまぜにしていますが。）

虚数"i"というものは始めは"iの二乗=-1"となる数を使うとなぜか計算がうまくいくということから発見されたものです。

それから徐々に虚数空間というものがこの世にあり、我々が目にし、触っている実数空間と虚数空間というものが存在するとわかったのです。

この実数空間と虚数空間は相互に影響を及ぼしているために実数の計算に虚数を用いなければ計算が成り立たないということがあるのです。

虚数"i"も数のひとつと考えられ、"iの二乗=-1"という性質を持った数の種類なのです。
そして実数と虚数を組み合わせて作った数を複素数と呼んでいます。
そして複素数は実数を数直線で表すと、その直線上に乗っていない数を表します（複素空間）。

結論：虚数"i"は"iの二乗=-1"という性質を持った、我々の空間と異なった虚数空間にある数である。