双曲線と軌跡

式７ｙ＾２－８ｙｔ＋２ｔ＾２－１＝０がどのようにして求まったのか

もう一度考えてみましょう。

これは、曲線の式に直線の式を変形（ｘ＝２ｙ－ｔ）して代入したので
すよね。つまり、式７ｙ＾２－８ｙｔ＋２ｔ＾２－１＝０は、曲線と
直線の共有点Ｐ，Ｑだけで成立っている式なのです。これはｙについての
方程式であって、曲線などの関数ではないことに注意してください。

だから、
＞７ｙ＾２－８ｔｙ＋２ｔ＾２－１＝０の
＞共有点の座標
という言い方はできません。

従って、式７ｙ＾２－８ｙｔ＋２ｔ＾２－１＝０の解をα、βをすると、
α、βは式７ｙ＾２－８ｙｔ＋２ｔ＾２－１＝０に代入すれば当然ながら
＝０が成り立つし、曲線の式２ｘ＾２－ｙ＾２＝１や直線の式ｘ－２ｙ＋
ｔ＝０に代入すれば、Ｐ，Ｑのｘ座標が求まります。

不明な点があったらどうぞ。

＞７ｙ＾２－８ｙｔ＋２ｔ＾２－１＝０

D/4＝16t^2－7(2t^2-1)＝2yt^2+7＞0で常に２実根を持ちます。
上式の2根をα、β（α＜β）とすると
根と係数の関係から
α＋β＝8t/7
このα,βはP点とQ点のY座標ですから
線分PQの中点M(X,Y)のY座標は
Y=(α＋β)/2＝4t/7....(1)
XはこのYを
ｘ－２ｙ＋ｔ＝０
に代入すると求まり
X＝2Y－t＝8t/7－t＝t/7...(2)
(1)と(2)からtを消去すれば
中点M(X,Y)のX座標とY座標の間の関係がでます。
その関係式が中点の軌跡の式になります。

tの消去から以降はご自分でできますね。

＞線分ＰＱの軌跡はどうやったら求まるのでしょうか？？

　　これは、正しくはＰＱの中点の軌跡ですね。

７ｙ^2－８ｔｙ＋２ｔ^2－１＝０の２つの解をα、βとします。
（つまり、α、βは共有点のｙ座標と言うことです。）
すると、共有点の座標は、直線ｘ－２ｙ＋ｔ＝０をちょっと変形すると
ｘ＝２ｙ－ｔだから、これにｙ＝α、ｙ＝βを代入して、
　Ｐ（２α－ｔ、α）とＱ（２β－ｔ、β）とすることができます。

すると、ＰＱの中点の座標は（[２α－ｔ＋２β－ｔ]/２、[α＋β]/２）・・(1)
となります。※２点の中点の座標を求める公式より

ところで、α、βは７ｙ^2－８ｔｙ＋２ｔ^2－１＝０の解だったから、解と
係数の関係より、α＋β＝８ｔ/７・・(2) と表せます。

中点を（Ｘ，Ｙ）とすれば (1) (2) のことから座標をｔだけを使って表す
ことができます。するとそこから、Ｘ＝・・・、Ｙ＝・・・と式が作れて、
この２式からｔを消去してＸ，Ｙをｘ、ｙに書き換えればＯＫです。

不明な点があればどうぞ。