正社員とアルバイトのかけもち

良い悪いはご本人も認識されているようなので省略。

ばれる原因は、
税金（年末調整などの手続き時に不備があれば税務署に問い合わせしますので）
交通費などの精算（過剰や過小な申告で発覚）
本業への影響（バイトのやりすぎで集中力が落ちたり、遅刻・欠勤が増える）
突発的な問い合わせや休出に対応できない
等があります。
バイト先に本業の関係者が偶然来てしまうというのも結構あるようです。

一般的に会社は解雇しないように一応努力しますので、発覚してもいきなり解雇することは無いですが、自己都合退職を迫ります。
（解雇は次の求職に大きく影響しますので）
本人が拒否しても解雇されるだけですが・・・
あまり例が無いように感じるのも、解雇でなく自己都合退職にしているからだと思います。

降格や減給などの処分もあります。
事例は意外と多いですよ（本人が公表しないです）

正社員として働いている会社の就業規則に、副業についてどう決められているかではないでしょうか。

基本的には禁止だと思うのですが・・・

税額で判るという話を聞いた事があります。
前年度に徴収した額より多ければ、何らかの収入があって修正申告したとか。

短期バイトが、どの程度の機関かわかりません。
日雇形態ならば、発覚する事も少ないでしょう。

実際ありましたよ。

私の知り合いで２０年前くらいに○○商事という当時詐欺で問題になった会社に勤めていたんですが、両親が水商売（スナック）の仕事を始めて、そのお店で夜は働いていたのですが（親の家業の手伝いになるのでしょうか）、バレタ時（バレタ経緯はわかりませんが、おそらく同僚との雑談が上司の耳に入ったのではないかと思います。）にクビになりました。

結果的にはクビになって良かったとは思いますが。