電圧のベクトルの合成

　

　
　－－ほかの回答ととても違うことを書きます－－


>>　たて方向のコイルの電圧も、横方向の抵抗の電圧も、向きと大きさはたて方向（Ｓｉｎ値）だと思いますが、違うのでしょうか。(電圧が色々な方向を持っているという考え方がわかりません）
勘違いがあると思いますが <<


　いえ、勘違いじゃないんです。あなたが感じて悩んでる「違和感」の方が、本当は正常なのです、実は「ベクトルだとか回転ベクトルだ」と呼んできたのは不適切だったのです。
現在は世界的に ベクトルでなく フェーザー phasor と改名しました。
http://www.oishi.info.waseda.ac.jp/~oishi/lec200 …
　ただ、日本ではまだほとんど浸透してません。
（私もそうですが）ベクトルと習った世代も 初学の頃は「これと力学のベクトルとややこしい、」と感じつつも、練習問題を何度もやらされるうちに計算法を丸暗記して うやのうちに終わり‥でした。　「計算さえできれば理屈はいい」とは違いますが‥



　電圧を矢印であっち向きこっち向きと書く、いっぽう物理ではベクトルは大きさと「方向だ」と教える。だから電圧がいろんな向きになってるって事なのか？と混乱しますよね。　（ 電気おぼえ始めの中高生が同じ考えで苦労してるのをよく見ました。そのうち何となく使い慣れてしまって うやむやに‥です。）

　時計の針は 上下や左右を表してるのではなく、時間を表してますよね。　フェーザーは正弦波どうしの角度差を表してます。針の長さは正弦波の頂上の高さです。

（回転ベクトルのように時間と共にクルクル回りません。フェーザーには時間は無いのです「大きさと角度」だけです。　これを「正弦波をフーリエ変換したものだ。時間の次元は消える。振幅と位相だけになる」と例える人もいるようです。）　話が変に難しくなったのでこの辺で。



　あなたの感じた「電圧が色々な方向を持っているという考え方がわかりません」は温存しておきましょう。電磁気学で「本物の電圧ベクトル」が登場しますが「これならベクトルでなっとく」と思うことでしょう。　いま現在 君が悩んでる『もの』はベクトルではない、ということです。



>>　コイルの電圧も抵抗の電圧も、向きと大きさは（Ｓｉｎのグラフの）たて方向だと思いますが、違うのでしょうか <<

　下図のグラフ（座標平面）では 間違いなく縦ですね。

電圧振幅
｜
｜
┼─────────時間
│
│

　この図に 電圧と電流の正弦波を２つ適当に書いてください、２つの正弦波の 頂上の高を棒で表し、それを時計の針２本の長さとします。針の間の角度は、頂上同志の時間差を角度に計算しなおした角度です。向きと全然意味がちがうんです。（時計の針は時間を表してる、上下左右を表してるのではない、と同じ）
　
　

交流電圧は、よくベクトルを使ってあらわされます。

うまく考えられたもので、大変すばらしい理論になっています。

交流とは、時間的にその大きさや方向が変化する電圧や電流のことですが、一般に家庭用電源などに用いられている交流電源は、その電圧波形がSin関数の波形に一致することから、Sin波交流と呼ばれます。このSin波交流回路の特性を調べるのに、ベクトル理論は大変役立ちます。

ある長さを持った棒を回転させ、その影を回転面に垂直な方向から見ていると考えれば、一定の大きさを持つものが回転によって大きさが変わるように見えるということがわかると思います。

2本の棒を別々に回転させた時、その回転速度は等しくても、回転を始める位置が異なれば、影の大きさは瞬間的に異なって見えることも理解できると思います。

この棒にあたるのがベクトルで、回転を始める位置のずれを角度で表したものが位相です。

ベクトルの合成と波形の合成を実際に紙面上で行ってみるとわかるのですが、2つのSin波形の合成は、瞬時値を合計した点を結んだ波形になります。この波形も位相のずれがあってもやはりSin波形になります。この合成されたSin波形は、元の波形ベクトルで表し、そのベクトルの合成方法によって求められた新たなベクトルの影と一致することが、わかります。

また、コイル、コンデンサーのインピーダンスをベクトルで表し、複素数表現にした場合、電圧÷インピーダンスで求めた複素数表現式が示すベクトルは、このコイルに流れる電流を表すベクトルに一致するのです。あらゆる面において、複素数表現された交流理論は、直流回路の理論と矛盾しないことが確かめられており、交流を扱う上で、大変有効な理論なのです。

交流回路の基本が理解できているでしょうか？直流では抵抗の電圧と電流は単純な比例関係がありますが、そもそも「向き」と言うことを考える必要がありません。

コイルは直流では電圧が発生しません。（内部抵抗などによる電圧効果はあります）
コイルは交流に対して「自己誘導」があるため、電圧と電流の関係が直流のときとは様子が異なります。大きさは単純に比例しますが、時間変化の仕方が違います。No1さんが書いているようにcosとsinで変化します。cosとsinはちょうど90度ずれているため、これを直交するベクトルとして表現するわけです。（複素数で表現するほうが便利ですが）
一度実際に実験してみて下さい。電圧の単純たし算が全く出来ないのに、ベクトルたし算が見事に成り立つのがわかります。（ただし、コイルでは内部抵抗や磁気損失等で90℃のずれにはなりません。コンデンサーはほぼ90度になります）最近のデジタルテスターは安くてこう言った実験が簡単にできます。

Ｎｏ１さんの回答で良いと思いますが、イメージしやすいように説明すると、以下のようになるかと思います。

ＲとＬの直列の場合は電流Ｉ（複素数）を基準のベクトルとするのが一般的です。Ｖ（複素数）を電圧とすると、
Ｖ＝ＲＩ＋ｊＬωＩ
が成り立ちます。ガウス平面上でＲＩを横方向とすると、
ｊＬωＩは縦方向になります。Ｌ字の対角線が電圧Ｖベクトルの大きさを与えます。これが、ベクトルとしての取り扱いです。実際にはこのベクトル図（直角三角形の図）全体が角速度ωで回転していることをイメージすればよいと思います。

i=Isin(wt)の電流が抵抗RとコイルLに流れた場合抵抗の電圧降下はV1=Ri=RIsin(wt),コイルはV2=Ldi/dt=wLIcos(wt)=wLIsin(wt+π/2)となります。

すなわち、抵抗端とコイル端に発生する電圧は位相が９０゜ずれています。この位相角度をガウス座標で表すと位相角度が方向に対応してベクトルのように取り扱えるのです。