名刺順列の個数

kony0さん、こんにちは。

自然対数の底がこんなところで出てくるなんて不思議ですよね。

漸化式まで立てられているのならあとは簡単です。
　A(n)=(n-1){A(n-1)+A(n-2)}　　(1)
について、A(n)=n! B(n)なる新たな数列B(n)を考えます。
　n! B(n)=(n-1){(n-1)! B(n-1)+(n-2)! B(n-2)}　　(2)
整理すると
　n(n-1) B(n)=(n-1)^2 B(n-1)+(n-1) B(n-2)　　(3)
から
　n B(n)-(n-1) B(n-1)-B(n-2)=0　　(4)
を得ます。これを2項間漸化式に持込むことを考えます。
2項間漸化式に直すと
　B(n)-B(n-1)=(-1/n){B(n-1)-B(n-2)}　　(5)
を得ます。順次、式変形すると
　B(n)-B(n-1)=(-1/n){B(n-1)-B(n-2)}=.....=(-1)^(n-2) ((2×1))/n!){B(2)-B(1)}　　(6)
となります。
また、(5)式の左辺は幸運なことに階差数列になっています。となると、単純に両辺のΣをとる一手です。
　B(k)-B(1)=Σ(-1)^(n-2) ((2×1))/n!){B(2)-B(1)}　　(7)
(両辺の和はn=2からn=kまで取る)
ここにB(2)=1/2, B(1)=0ですから
　B(k)=Σ(-1)^(n-2) (1/n!)
　　　=Σ(-1)^n (1/n!)　　(8)
と求められます。(和はn=2からn=kまで取る)

ここで(-1)^0 (1/0!)+(-1)^1 (1/1!)=0であることを使えば
　B(k)=Σ(-1)^n (1/n!)　　*和は今度は、n=0からn=kまで取る　　(9)
というスッキリした形に整理できます。
A(n)に直した式はなくてもいいですよね。

関数f(x)=exp(x)のテーラー展開を考え、x=-1を代入すると(8)と同じになります。
ですからご質問の最後の「全世界の人が名刺を・・・」の確率は1/eになるわけですね。

*計算間違いをしているかも知れません、ご自分で式をチェックしながら読んで頂ければ幸いです。