『氷晶核』って、何ですか？

冷却していくことで、液体が固体になる（結晶化する）ことは水に限ったことではありません。

また、再結晶をさせる時にも、結晶ができるのにその中心となる物質が必要なのです。この結晶が出来る時の中心となる物質が結晶核であり、水の時にはとくに、氷晶核とよんでいるのではないでしょうか。

結晶核は、他の物質である必要はないと思います。

水であれば、水分子がいくつか結合していれば、その結晶核となると思います。
特に他の物質が無くても、外部から刺激が与えられれば、それによって結晶が、発達していくことがあります。

過冷却の状態のビーカーに振動を与えてみると（ガラス棒などでビーカーの縁をたたく）と、それがきっかけになって急激に結晶化していくことがあります。

あくまで、想像ですが、この時の刺激によって、水分子の距離や結合のバランスが崩れ、水分子同士が、いくつかが結合するのではないでしょうか。これを核として、結晶が発達していくと考えています。

このことは、こんな例と似ているのではないでしょうか。江戸時代などの飢饉のとき、必ず百姓一揆が起こった訳ではないでしょう。でも、飢饉の時は必ず不平不満が溜まっていて、いつ一揆が起こってもおかしくない状態だったのではないでしょうか。そこに、一揆を先導する指導者がいたり、（これは、「ほこり」などの結晶の核となるまさにそのものズバリの物質になるものではないでしょうか）また、誰かが、代官に殺されてしまい、そのことがきっかけで一揆が起こったり（これは、外部からの振動などの刺激により水分子同士のいくつかが結合し、氷晶核となったといえるのではないでしょうか）したのではないでしょうか。

再結晶の時にもおもしろいことがあります。

まず、再結晶ということが知らないとわからないと思いますので、再結晶の説明を書きます。
再結晶とは、物質が水などの溶媒に溶ける量（溶解度）が、温度によって変化することを利用して純度の高い結晶を得る操作のことです。一般に固体は、温度が高いほどたくさん溶ける（溶解度が大きい）ので、高い温度で溶けるだけ再結晶したい物質を溶かします。この後、温度をさげると、溶けることが出来る量（溶解度）が減るので、溶けきれない分が結晶として析出するのです。

例えば、ミョウバンなどは、温度による溶解度の差が大きいので、中学や高校の実験では用いられています。
沸騰水にめいっぱいミョウバンを溶かして、（溶けきらないでのこったミョウバンがあったら、濾過して除いておきます）氷水など充分冷やします。本来であれば、０℃ではあまり溶けないので結晶がすぐに出てきそうなのですが、なかなか結晶がでてきてくれません。そんな時は、ガラス棒を中につっこんで、ビーカーの底をこすります。すると、そのこすった所から結晶が現れてきます。そして、この結晶が現れたらあっという間に、ビーカー内が結晶でいっぱいになってしまいます。これを見るとかなり、劇的に変化するのでおもしろいです。

ですから、精製水は、ほこりのような結晶核となる物質はほとんどありませんが、外部からの刺激によって、水自身の小さな結晶化したものが、結晶核となるといえると思います。

だらだらと、書いてしまいましたが、参考にでもなればと思います。

氷晶核という物資があるのではありません。

水が氷になるときに成長点となる物質の総称です。水だけでは簡単には氷にならず、核となる物質の周りから氷は成長していくのです。氷晶核がないと氷への成長が簡単には進まず、過冷却が起こります。物がなにかというと簡単に言えば水の中の不純物ですね。微粒子、他の結晶等です。ちなみに天気のサイトで雹の氷晶核の１つとして黄砂が挙げられていました。