等差数列

#2さんの考察の通りですが、最後の詰めが違うような気がして

私なりに式をできるだけ使わないで考えてみました。

ｄ≧０のときは、anはいずれ正になる。
そこから先は足せばたすほど大きくなるから最大値なし

よってｄ＜０

この場合初項は正でないといけない。
あるところまで（第ｋ項）までは正で、その次から負で、
０になるところがあるとダメなことは＃２さんが説明
しているとおり。

このときS_kが最大で２２
Ｓ_(k-1)、Ｓ_(k+1)の順になるか
Ｓ_(K+1)、Ｓ_(K-1)の順になる。
akは引き算すれば求まるので

ak＝２，次が－１（公差－３）
ak＝１，次が－２（公差－３）
のどちらか。

後は計算するのが面倒なので順に並べてみたら
１０，７，４，１，－２
が適するようです。

公差dの等差数列a_n=a_1+(n-1)dについて

S_n=(n/2)(a_1+a_n)=(n/2){2a_1+(n-1)d}
=n{a_1+(n-1)d/2}=(d/2)n{n+(2a_1/d-1)}
縦軸S_n，横軸nとしてグラフを描くと，
d>0のときは下に凸の二次関数でnは1から無限大まで値をとるので最大値はなし．d=0のときは原点を通る直線になり最大値が22にはなりえない．残るはd<0のときに限定されます．このとき，二次関数S_nのグラフで考察するのは困難なので，別の視点で見てみます．a_nは等差数列でd<0ですから，a_1>0でないと和が22，21，20にはなりえません．
結局，限定された条件a_1>0，d<0として考えればいいことになります．
すると，a_nはnの増加に伴って正の値a_1から負の値の方向へ向かっていく事になりますが，a_n<0となるnからS_nは減少していきます．この様子は二次関数S_nのグラフと比較して見てみても分かりやすいかと思います．
あとは定石解法で結局大きい順に
初めてa_n<0となるnの値をp(p≧2)とすると(a_p=0のときは最大値が22,22の2つ存在するからa_p≠0)和の最大値はS_(p-1)=22で，残りは条件より
順に値が小さくなってゆくからS_p=21，S_(p+1)=20．
まとめると
a_p=a_1+(p-1)d<0　…(1),
S_(p-1)={(p-1)/2}{a_1+a_(p-1)}={(p-1)/2}(a_1+a_p-d)=22　…(2),
S_p=(p/2)(a_1+a_p)=21　…(3),
S_(p+1)={(p+1)/2}{a_1+a_(p+1)}={(p+1)/2}(a_1+a_p+d)=20　…(4)

(3)式を(2)式に代入して
{(p-1)/2}(42/p-d)=22⇔(42/p-d)=44/(p-1)　…(2)'
(3)式を(4)式に代入して
{(p+1)/2}(42/p+d)=20⇔(42/p+d)=40/(p+1)　…(4)'
(2)'+(4)'によってdを消去すると
84/p=44/(p-1)+40/(p+1)
21(p-1)(p+1)=11p(p+1)+10p(p-1)
これを解くとpが出てきます．自然数の解が出ればいいですが…．
このpを(2)',(4)'のどちらかに入れてdが決まり(3)式でa_1も求まります．これらの値は(1)を満たすものを選べばきっとできるでしょう．
計算ミスもしているかもしれないので，自分で確かめて見て下さい．分からない所があったら補足下さい．

＞Snを大きい順に並べると第３項までがそれぞれ22,21,20となる

S1,S2,S3,S4・・・
を大きい順に並び替えると、最初の３項が
22,21,20
となっている

という意味ですか？