三角関数の指数関数表示とオイラーの公式の関係

(sinx)^2+(cosx)^2=1　より (cosx) + i(sinx) は絶対値が１の複素数であることが分かります。

よってf(x)を実関数として
　(cosx) + i(sinx) = exp{if(x)}　…(1)
とおくことができます。x=0 とおくと exp(if(0)) = 1より
　f(0)=0　…(2)
(1)の両辺を微分すると
　-(sinx) + i(cosx) = (if'(x))exp{if(x)}　…(3)
(1)(3)より
　f'(x)=１　…(4)
(2)(4)より
　f(x)=x
よって(cosx) + i(sinx) = exp{ix}

No3です

> e^(z)=exp(z)がC→Cへの全射を
> e^(z)=exp(z)がC→C-{0}への全射
に訂正しておきます
それでも cosx+isinx=0となるx∈Rはないので、いいと思います

No4さまへ
> あるいは，答えを知っているからこその証明ということでしょうか？
これについては、そうだと思います．

cosx+isinxはR→Cの関数と見ることはできます
そして、No2の
> また、任意のR→Cへの関数g(x)に対して,g(x)=e^(if(x))
> と(あるf:R→Cで)おけることについては、e^(z)=exp(z)が
> C→C-{0}への全射になるという知識が前提にあると思った方が
> いいと思います
から、あるR→Cへの関数fを用いて(cosx+isinxを)exp(if(x))と表すことができることを説明するつもりで書きました
もし、違っていたら補足お願いします

>> No.3 さま

左辺の絶対値が１になるのはわかるのですが
　cosx + isinx
の値が何になるかを調べようとしている段階で
　exp{if(x)}
のように置けるのかがわかっていません．
左辺とは独立に絶対値が１であることが
言えなければいけないのではないでしょうか？

あるいは，答えを知っているからこその証明ということでしょうか？
そうであれば，とりあえず
　exp{if(x)}
とおいてみたところ，等式を満たす f(x) として
　f(x) = x
というものが見つかったのでOKということで納得です．

質問者様と2様へ

|e^(if(x))|=1　についてですが
cosx+isinxの絶対値の2乗が(sinx)^2+(cosx)^2は分りますよね(一般にCの距離はR^2と同一視してます)
(sinx)^2+(cosx)^2=1の公式も分ると思います
(質問文にあるくらいだし)
だからです．

また、任意のR→Cへの関数g(x)に対して,g(x)=e^(if(x))
と(あるf:R→Cで)おけることについては、e^(z)=exp(z)がC→Cへの全射になるという知識が前提にあると思った方がいいと思います

* このご質問と関係ありませんが、以前くりこみ群の知識はおろか位数の定義すら間違っていて大変失礼な回答をしてしまい申し訳ありませんでした．m(_ _)m
位数の定義については、よく見直しいたしました．

便乗質問ですが，

　|exp{if(x)}| = 1
はどのようにして言えるのでしょうか？