虚数の用途

虚数というのは１６世紀くらいに

3次方程式の解を表現するために
作られた記号でした。

　2回かけるとー１になるという
性質の数があると仮定（想像imaginary）しないと、
３次方程式の答えが出せない場合
があるんです。
　最初は現実とはつながりのない、単なる
想像上の数、記号だったわけです。

　えーと、三角関数はもうやってますよね。
2回かけると－１になるという性質が
三角関数にもありますね。
ＣＯＳ90°は2回かけると－１になります。

　オイラーの式というのを理解できると
納得できるのですが、実は虚数というのは
２次元平面上の回転を表現する性質が
あるということが１９世紀に明らかに
なったんです。
　発端は、ガウスという数学者が
考え出した複素数平面（またはガウス平面）
というもので、虚数が幾何学的意味（方向を
表すベクトルや空間上の回転）を持つこと
が分かったんです。
　複素数は虚数と実数の足し算の形をした
もので、後からやると思います。

　三角関数のカーブを見ると分かると思いますが、
回転を表す関数は、正弦波という波を表現
することができます。
　家庭用の１００Ｖの交流電圧も正弦波です。

　三角関数も虚数も、電気信号の交流のように、
周期的に回転、変動する現象を表現する
のに非常に有効的なんです。

　２，３年の物理の教科書に出てくる話ですが、
コイルやコンデンサに加わる電圧と
電流は移相が９０°ずれているんです。
電圧が最大値になってから、１／４周期、
つまり９０°移相がずれて、電流が
最大値になるんです。

　こういった現象を表現するのに
虚数は重要です。

＞どういうところで生かされているんでしょうか

　身の回りの電気製品の、電気回路の設計などに
生かされています。

　電気回路という名前のついた本を
探して開いてみると、虚数が沢山
出てきます。

　いきなり虚数を考えるより、そのひとつ前の負の数が出現してきたときのことを考えてみたらどうでしょうか？

　子供のころ、引き算を教わったとき、５個のりんごから２個とると３個残るという状況を、５－２＝３と表現しました。でも、３個のりんごから５個とれないので、３－５なんて不可能と考えていたのではないでしょうか。しかし、世の中には、１万円損する、ということは-1万円得すること、とか、北へ１０ｋｍ進むということは南へ－１０ｋｍ進むこと、など、負の数で表現するとうまく表現できることがいっぱいあり、あたかも負の数が実在するように多くの人が自然に使っています。
　だから、虚数も、それを使うと表現しやすいことが有るから使っているのだと思います。No.7のかたがおっしゃるように、電気回路では、負荷にコンデンサやコイルをつなぐと抵抗の場合と異なり、（交流）電圧と電流に位相のずれが生じます。このことは、三角関数の位相のずれでも表現できるのですが、なんだか狭苦しく、虚数の掛け算で表現すると簡単になります。これを発展させると、工学部電気、機械系の伝家の宝刀？ラプラス変換に至ります。線形システムの挙動を複素数の多項式の性質で置き換えて考えるということですね（間違ってたらごめん）。
　とうことで、実数に比べて、日常生活で実感できる機会はまったくといっていいほどありませんが、実数に比べて「虚しい」存在というわけではないと思います。

＃２で答えたものですが、もっと具体的に言うと、虚数の理論をもとに携帯電話,電車,TV,自動ドアが作られています。

（これくらい普通、学校の教員は知っているはずですけど。）

高校数学ですね。

まあ高校で習うことの半分以上は「普通の生活」では使いません。買い物に行って世界史が必要か？ご飯を炊くのに英語が必要か、ってなわけで。
ただ誰かが使っています。たとえばNo.2の方のおっしゃる交流の電気や波動。量子力学とかに虚数は使われています。そしてそういうものを使って、あるいはそういうものを背景にした理論があってコンピューターだって作られています（半導体っていうのをちゃんと理解するには量子力学が必要です）。
というわけであなたが普通の生活の中で使っているもの中にはいっている、といってもいいんじゃないかとおもいます。

もし貴女が、「『９０度回す』と言うことが普段の生活で算数が生かされている場面だ」と思うのであれば、虚数をかけるってことは回すことと同じことで、この意味で生活に生かされます。

６０度回すってことは、1/2＋√3/2iという複素数をかけることでして、６０度まわすということより、極めてシンプルな表現方法になります。テレビなどのものづくりの裏側では、この複素数の性質を大いに利用して回路の計算などをやります。虚数はイマジナリーナンバーの日本語訳で、訳文としてはまったく誤訳に近い。想像数と直訳されますが、私は創造数の方がぴったり。虚数は決して虚しい、嘘っぱちの数ではありません。この数なくしては、物理の世界は記述できません。物理が普通の生活かといわれれば、このアドバイス自体がナンセンスなものになりますが、・・・・

生かされているところは、目には見えてこないかもしれませんが、

多くの電化製品は、虚数の考え方を使って作られています。

また、工場を制御する機械においても、機械が安定に動作するための条件を、虚数を使って求めたりします。

　　物理だと交流回路、電磁波、量子力学とかで使いますけど。

だから全く役に立たないっていうことはないですよ。
　

ないです。

虚数は「仮定の話」なので、普段の生活には「一切役立ちません」。