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ケプラーの第一法則を
 md2r(ベクトル)/dt2=kr(ベクトル)/r3 と保存角運動量を用いて、楕円軌道の式を導出するにはどうしたら良いですか?
ベクトル籍、ベクトル三重積を利用するのですが、やり方がよく分からなくて行き詰まってしまいました。
どなたか詳しく教えてくださいm(__)m

A 回答 (2件)

惑星の運動は中心力が働く方向(惑星と太陽を結ぶ


方向)と惑星の速度方向で決まる平面からでること
はないので2次元平面内の運動とみなせます。
2次元平面での運動方程式を以下の変換で極座標表示
x=r cosθ, y=r sin θ
にして解きます。
その後の式変形については
http://www-het.ph.tsukuba.ac.jp/~tanigchi/Enn/ma …
などを見られるとよいでしょう。
ごめんなさい。式を書くのが面倒なもので。。。
図書館に行って大学1年生相当のテキストをあされば
もっとわかりやすいものがたくさんあるとおもいます。

逆にオイラーの法則よりニュートンの法則を得るなら
(歴史的にはこうなのだけれど)
http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~m-mat/NON …
の中のPDFファイルがとってもおススメなのです。
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 課題は、ベクトル計算を求めているから、成分計算では駄目でしょう。



r、位置ベクトル
V=dr/dt、速度ベクトル
L=r×mV、角運動量ベクトル(時間不変)

与式
 md2r/dt2-kr/|r|^3=0
dr/dt=Vに置き換えてLと外積
(1) L×dV/dt-(k/m)/|r|^3(L×r)=0
式(1)は
(2) e=L×mV-mrk/|r|=定数
のd/dtである。ここにベクトル三重積が必要でした。eとrの内積は
 e・r=(L×mV・r)/mk-|r|=-|L|^2/mk-|r|
またeとrの内積は|e||r|cosθであるから
(3) r(θ)=-|L|^2/(mk(1+|e|cosθ))
e<1が楕円である。eは離心率ベクトル。

 コピペして式3行だけのレポートを提出するのは勇気がいるし、途中を埋めるしかないでしょう。僕がやったら約30行でした。がんばりましょう。
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